La stabilizzazione del proiettile: aspetti teorico-pratici

di Alberto Garofalo          

Animazione proiettile in calibro .50 BMG

 

La precisione di un’arma è fortemente legata ad una corretta stabilizzazione del proiettile, che a sua volta dipende dalle caratteristiche di questo (in particolare peso e lunghezza) e dal passo di rigatura dell’arma. L’uso di un passo di rigatura o di un proiettile non appropriato può non solo dare rosate più ampie della norma ma anche portare a risultati erratici in termini di precisione, qualora la stabilizzazione risulti insufficiente.

Se consideriamo che per taluni calibri, in particolare per le carabine, sono disponibili armi con passi di rigatura molto diversi tra loro (con differenze anche del doppio) e palle di peso altrettanto diverso, la scelta del binomio arma munizione, indipendentemente dal fatto che si usino munizioni ricaricate o commerciali, diventa davvero cosa non di poco conto. Ed il problema si presenta più frequentemente di quanto si pensi !

Contrariamente ad altri tipi di calcoli balistici, il passo di rigatura ottimale per stabilizzare un determinato proiettile (problematica spesso poco trattata da libri e riviste) richiede informazioni facilmente reperibili e può essere calcolato utilizzando alcune semplici formule empiriche o utilizzando alcuni programmi scaricabili da internet che vengono descritti in questo articolo dopo una trattazione sintetica di alcuni concetti generali.

 

Aspetti Generali

Per stabilità intendiamo la capacità del proiettile di mantenere un corretto orientamento lungo la traiettoria e di ritornare in questo stato se disturbato.

Sul proiettile possiamo distinguere due punti: il centro di massa (G) e il centro di spinta (C). Il centro di massa (o baricentro) è il punto nel quale vengono applicate le forze di natura fisica (nel nostro caso la forza di gravità) e che traccia il moto del proiettile. Il centro di spinta è invece il punto nel quale vengono invece applicate le forze aerodinamiche (portanza e resistenza dell’aria). Il tutto può essere schematizzato in Figura 1.

Figura 1 – Forze agenti sul proiettile in traiettoria. Nel disegno: forza peso (mg); forza aerodinamica (F); resistenza aerodinamica (R); portanza (P); angolo di incidenza (i); centro di spinta (C); centro di massa (G); velocità del proietto (v); braccio di forza (b)

 

Essendo le forze applicate in due punti diversi, si viene e creare un braccio (b) o momento, che tende a ribaltare il proiettile che deve pertanto essere stabilizzato. Il fenomeno della tendenza al ribaltamento (tumbling) è reso evidente nella balistica terminale, quando il proiettile, attraversando mezzi ben più densi dell’aria (tessuti molli, gelatina balistica, ecc.) non è sufficientemente stabilizzato e compie dei ribaltamenti essendo spesso rinvenuto capovolto al termine del tramite.

La stabilizzazione può essere ottenuta in vari modi che riassumiamo qui brevemente:

    • Uso di proiettile sferico
      E’ la soluzione più antica. In questo caso centro di massa e centro di spinta coincidono e pertanto il problema del ribaltamento non sussiste. A parte gli ovvi svantaggi aerodinamici, proiettili di questo tipo se deformati o per densità del materiale non omogenea (centro di massa e centro di spinta non coincidono più) possono dare origine a traiettorie irregolari oltre al noto effetto Magnus qualora per qualche motivo sia innescato un movimento di rotazione.

 

    • Stabilizzazione tramite “alette sottili”
      Questo sistema è utilizzato per frecce, razzi, proiettili con borra d’impennaggio (es. palle in cal. 12) ecc. In questo tipo di proiettili (si pensi a una freccia) il centro di spinta si trova in posizione molto arretrata (in prossimità delle alette) ed il centro di massa si trova invece all’estremità (sulla porzione anteriore più pesante) che è piuttosto distante dal centro di spinta. Sulla base di calcoli matematici (e l’esperienza lo conferma), un proiettile con questa conformazione viene a compiere durante la sua traiettoria anche un moto sinusoidale avente una ampiezza più o meno elevata a seconda delle caratteristiche del proiettile, che può influire sulla precisione del tiro. Il fenomeno descritto è evidente quando si osserva ad esempio il lancio dei fuochi artificiali.

 

    • Stabilizzazione giroscopica
      Valgono essenzialmente le considerazioni matematiche per il moto giroscopico della trottola, dove nel caso del proiettile la reazione del piano è sostituita dalla resistenza dell’aria. Per la trattazione teorica dell’argomento si rimanda ai vari testi di balistica ([1] e [2]). Per i nostri scopi è sufficiente descrivere le principali caratteristiche della stabilizzazione giroscopica. Questa dipende essenzialmente dai seguenti fattori: passo di rigatura, lunghezza del proiettile, massa del proiettile, velocità del proiettile e densità del mezzo attraversato. Più il proiettile è lungo e più è pesante, maggiore è la stabilizzazione richiesta. Un mezzo più denso richiede una maggiore stabilizzazione. In maniera inferiore influiscono anche altri parametri del proiettile, quali la lunghezza del “naso” e la rastrematura della coda che vanno a modificare, seppure in maniera minore, il suo momento d’inerzia che è il vero parametro che condiziona la stabilizzazione.E’ importante ricordare inoltre che la velocità di rotazione diminuisce molto di meno di quanto non faccia la sua velocità di traslazione, pertanto anche nel caso di tiri lunghi, il problema di perdita di stabilizzazione giroscopica è molto ridotto. Possono però presentarsi problemi di stabilità dinamica che descriveremo più avanti. Una non corretta stabilizzazione giroscopica può generare proiettili ipostabili se insufficiente o iperstabili se eccessiva. I proiettili ipostabili danno risultati erratici in termini di coefficiente balistico e precisione in conseguenza della scarsa stabilizzazione che implica oscillazioni di ampiezza elevata (moti di precessione e nutazione) che fanno cambiare continuamente il profilo del proiettile che impatta contro l’aria. I proiettili iperstabili invece tendono a esaltare eventuali imperfezioni (es. differenza spessore del mantello in un punto, asimmetrie varie, ecc.) con conseguente ripercussione sulla precisione.

 

Criteri per la valutazione della stabilizzazione giroscopica

Poiché le equazioni desunte da considerazioni teoriche sono piuttosto complesse e non facilmente applicabili, nel corso degli anni sono state sviluppate varie equazioni empiriche molto più semplici che possono essere utilizzate inserendo alcuni valori facilmente ottenibili o misurabili. Sono inoltre disponibili in internet programmi in grado di eseguire tale tipo di calcoli. Vediamo ora queste formule in dettaglio.

    • Formula di Greenhill
      Questa formula fu sviluppata nel 1879 per proiettili subsonici di artiglieria con densità di 10,9 g/cm3. E’ storicamente la prima formula sviluppata per la valutazione della stabilità ed è espressa come segue:

      dove:
      t = passo di rigatura in calibri
      l = lunghezza del proiettile in calibri

      od anche:

      dove:
      T = passo di rigatura in pollici
      L = lunghezza del proiettile in pollici
      D = diametro del proiettile in pollici

      Il valore di 150 vale per una velocità di 1500 piedi/sec (457 m/sec), per velocità di 2800 piedi al secondo (853 m/sec) si usa invece la costante 180.
      La formula di Greenhill esiste anche in versioni aggiornate per le densità tipiche dei proiettili moderni [4] che possono essere anche abbastanza diverse da quelle dei proiettili per i quali è stata sviluppata. A questo proposito si dovrà considerare un opportuno coefficiente di correzione:

      dove:
      d = densità proiettile in g/cm3

 

    • Formula di Bowman
      Si tratta di una formula pubblicata da Les Bowman nel 1962 su Gun Digest. Per una velocità di 1840 piedi al secondo (561 m/sec) dà risultati coincidenti con la formula di Greenhill. La formula è la seguente:

      dove:
      T = passo di rigatura in pollici
      v = velocità del proiettile in piedi al secondo
      D = diametro del proiettile in pollici
      L = lunghezza del proiettile in pollici
      Si tratta di una modificazione della formula di Greenhill.
      La formula è anche utilizzabile online sul seguente sito:
      https://kwk.us/twist.html

 

    • Equazione empirica semplificata suggerita dalla CFOA
      La CFOA, Canadian Firearms Owner Association, propone un calcolo semplifica del fattore di stabilità suggerendo l’uso della seguente relazione [6]:

      dove:
      s = fattore di stabilizzazione (adimensionale)
      m = massa del proiettile
      T = passo di rigatura
      D = diametro del proiettile
      L = lunghezza del proiettile

      A e B sono delle costanti definite in base al sistema usato, metrico (g, mm, m/s) o anglosassone (grs, pollici, fps):

      Anglosassone Metrico
      A = 425,1844 4233209
      B = 5705 1739

      Usando l’equazione della CFOA si potranno avere quattro possibili casi:

      s < 1,0 ipostabilità
      1,0 < s < 1,3 quasi stabilità
      1,3 < s < 1,5 stabilità
      1,5 < s iperstabilità

      Fissato s compreso tra 1,3 ed 1,5 si possono anche ricavare dalle relazioni inverse i parametri di ricarica o dell’arma, ossia: v (velocità alla volata) o T (passo di rigatura ottimale). Da un rapido confronto, la relazione della CFOA risulta un po’ più conservativa rispetto a quella, anch’essa molto usata, di Miller (a seguire).

 

    • Formula di Harris
      Ci limitiamo semplicemente a citare questa formula per completezza di testo, poiché è poco conosciuta e sembra avere scarso riscontro con i dati sperimentali [4].

      dove:
      T è il passo di rigatura in pollici.
      Per la simbologia riguardante gli altri parametri si veda la formula di Miller a seguire.

 

    • Formula di Miller
      Questa formula di recente sviluppo (2005) consente di calcolare la stabilità per proiettili moderni tenendo conto anche di parametri come la velocità e la temperatura. E’ espressa come segue:

      dove:
      s = fattore di stabilizzazione (adimensionale)
      30 = costante che vale per una velocità di 2800 fps (853 m/s) in condizioni “U.S. Army Standard Metro”: 59°F (15°C), 750 mmHg, 78% umidità relativa.
      m = massa del proiettile in grani
      t = passo di rigatura in calibri
      D = diametro del proiettile in pollici
      l = lunghezza del proiettile in calibri

      od anche:

      dove:
      T = passo di rigatura in pollici
      L = lunghezza del proiettile in polliciLa stabilizzazione ottimale si ha per un valore di s compreso tra 1,3 (1,5 per usi militari) e 2,0. Tuttavia fattori di stabilizzazione fino a 3,5 non sembrano dare particolari problemi di iperstabilità. Operando con un fattore di stabilizzazione intorno ad 1,3 sono minimizzati eventuali effetti dovuti a difetti del proiettile [4] ottenendo una maggiore precisione. Questa è pratica comune tra i tiratori di Bench Rest.Per velocità diverse da quelle riportate basta moltiplicare s per il seguente parametro correttivo:

      Per condizioni atmosferiche o altitudini diverse, s va invece moltiplicato per il seguente valore:

      dove:
      ρstd = densità dell’aria alle condizioni standard
      ρ = densità dell’aria alle condizioni sperimetali (quota, temperatura, ecc.)

      Al mutamento di temperatura e pressione, considerando costante l’umidità relativa, possiamo anche riferirci alla seguente relazione:

      dove:
      C = temperatura dell’aria alle condizioni sperimetali in gradi Celsius
      P = pressione dell’aria alle condizioni sperimetali in mmHg

      La formula è utilizzabile online sul seguente sito:
      www.jbmballistics.com/cgi-bin/jbmstab-5.1.cgi
      oppure può essere scaricata come file Excell dal seguente sito:
      https://bulletin.accurateshooter.com/2008/06/calculating-bullet-rpm-spin-rates-and-stability/

      Si tratta di una formula di uso molto frequente con ottimo accordo tra valori teorici e sperimentali [4] utilizzata anche da Brian Litz [5]. Pertanto ci dilungheremo con qualche esempio. Sulla Tabella 1 (a seguire) sono riportati i valori del fattore di stabilizzazione (s) per alcuni passi di rigatura per due proiettili Sierra MatchKing in .223 Remington in condizioni standard ICAO (59°F, 760 mmHg: 0 m slm, 0 % umidità relativa). Tali condizioni (ICAO è la International Civil Aviation Organization), che sono diverse da quelle cui fa riferimento la formula di Miller, sono utilizzate in alcuni programmi Excell e pertanto si è deciso di fare riferimento a queste per motivi di praticità di calcolo. L’influenza sul risultato finale è comunque pressoché trascurabile. La scelta del .223 Remington come esempio ci è sembrata significativa in quanto per questo calibro (ma non è il solo) è disponibile un’ampia gamma di passi di rigatura (da 1:7 a 1:14 pollici) e di granitura di palle (da 40 grs a 90 grs).

      Peso (grs) Lunghezza (pollici) Velocità (fps) Passo rigatura (pollici) Stabilità s Note
      80 1,06 2800 7 2,0 Stabile
      9 1,2 Ipostabile
      12 0,7 Ipostabile
      52 0,71 3200 7 4,2 Iperstabile
      9 2,5 Iperstabile
      12 1,4 Stabile

      Tabella 1 – stabilità proiettili Sierra MatchKing in .223 Remington

       

      Come si vede dai dati, la palla da 80 grs può essere impiegata su una rigatura da 1:7 pollici, ma già su una rigatura da 1:9 pollici comincia ad avere problemi di stabilità (la Sierra per questo proiettile raccomanda una rigatura da 7 o 8 pollici). Il problema opposto lo abbiamo invece con la palla da 52 grs che deve essere utilizzata con passi di rigatura di 12 pollici per evitare problemi di iperstabilizzazione. Per tali proiettili la formula di Greenhill (il calcolo è stato eseguito utilizzando la densità originale di 10,9 g/cm3) dà valori di passo di rigatura ottimale di 8,5 e 12,7 pollici rispettivamente cui corrisponde per entrambi un fattore di stabilizzazione di 1,3 calcolato con la formula di Miller. La formula di Bowman dà invece come passi di rigatura ottimali 8,8 e 14 pollici che darebbero proiettili ipostabili secondo la formula di Miller. Un ampio confronto tra queste formule è riportato nell’articolo di Don Miller [4].

      A temperature più basse, ad esempio -15°C (5°F), il fattore di stabilizzazione per il proiettile da 80 grs passa a 1,8 per la rigatura da 7 pollici ed a 1,1 per la rigatura da 9 pollici. Pertanto non sempre è consigliabile operare al limite della stabilizzazione perché la variazione dei parametri ambientali può avere effetti non trascurabili sul fattore di stabilità. Significativo a questo proposito quanto citato da Miller [3] a proposito di un tiratore di Bench Rest che in una competizione svoltasi con clima rigido riscontrava sul bersaglio fori ovalizzati (evidente segno di proiettile ipostabile) con conseguente perdita di precisione. Esclusi tutti gli altri fattori, un semplice calcolo teorico ha permesso di attribuire la responsabilità al clima rigido (maggiore densità dell’aria) che aveva portato ad un decremento della stabilizzazione del proiettile.

 

Programma di calcolo WinGyro

Questo programma, che si basa sui principi teorici di R.L.McCoy [2] (famoso esperto di balistica mancato anni fa), consente di tenere conto anche dei parametri di forma del proiettile e delle differenze di densità dovute a diverse configurazioni (es. mantellato, perforante, punta cava, ecc.). I dati da inserire possono essere reperiti o misurati facilmente fatta eccezione forse per i parametri relativi all’ogiva (es. raggio ogiva secante) che possono essere difficili da misurare.

Questi ultimi possono tuttavia essere facilmente reperiti nel libro di Brian Litz [5] che riporta un dettagliato elenco di parametri dimensionali e balistici per un elevato numero di proiettili nei calibri di uso comune nel tiro di precisione e nella caccia. Il programma anche se non consente di inserire i parametri concernenti le condizioni ambientali (i dati ottenuti fanno riferimento a condizioni atmosferiche standard) consente una accurata determinazione della stabilizzazione fornendo un tabulato del parametro di stabilità per intervalli di 100 piedi al secondo. In Figura 2 viene riportata la schermata iniziale del programma.


Figura 2 – Schermata iniziale del programma WinGyro

Nella Tabella 2 si riportano i risultati ottenuti con questo programma per i proiettili dell’esempio precedente. In questo caso è stata fatta variare anche la lunghezza dell’ogiva (Nose Length) che è il parametro che dopo i fattori già detti maggiormente influenza la stabilizzazione. Per facilitare il confronto, i valori ottenuti con la formula di Miller sono stati riportati tra parentesi. Per la palla da 80 grs non è stato calcolato il fattore di stabilità con la rigatura da 12 pollici, in quanto non risulta stabilizzata già con la rigatura da 9 pollici. L’accordo con la formula di Miller sembra essere soddisfacente.

Peso (grs) Lunghezza (pollici) Velocità (fps) Lunghezza “naso” (pollici) Stabilità s per Passo di rigatura in pollici
7 9 12
80 1,06 2800 0,1 1,4 0,9
0,2 1,5 0,9
0,3 1,6 1,0
0,4 1,7 1,0
0,5 1,8 1,0
0,6* 2,0 (2,0) 1,2 (1,2)
52 0,71 3200 0,3 4,0 2,4 1,3
0,4 4,2 2,5 1,4
0,5* 4,4 (4,2) 2,7 (2,5) 1,5 (1,4)
0,6 4,7 2,8 1,6
(*): Valori prossimi a quelli reali: 0,63 e 0,46 pollici rispettivamente

Tabella 2 – calcolo della stabilità con il programma WinGyro per i proiettili Sierra MatchKing in .223 Remington dell’esempio precedente

 

Dalla tabella è evidente che più il proiettile tende ad assumere una forma vicina a quella cilindrica (ha cioè la parte ogivale corta) più è difficile da stabilizzare, e questo perché come detto in precedenza ai fini della stabilizzazione influisce anche la forma del proiettile. Se nel programma avessimo inserito una voce diversa nella parte “Bullet Construction” (Es. nucleo perforante anziché FMJ) avremmo ottenuto ancora una volta risultati diversi perché saremmo andati a fare variare la densità del proiettile parametro che come abbiamo visto influenza anch’esso i risultati in maniera rilevante e di cui le formule empiriche qui descritte tengono conto anche se non in maniera esplicita. Quello di Tabella 2 deve essere ovviamente considerato un puro esercizio numerico dato che certe dimensioni (ad esempio proiettili da 80 grs con un naso di soli 0,1 pollici) hanno certamente poco senso.
 

Stabilità dinamica

Come menzionato parlando di stabilizzazione giroscopica, per evitare il ribaltamento, il proiettile può essere stabilizzato imprimendo un movimento rotatorio intorno al suo asse longitudinale. Purtroppo, il moto giroscopico è esso stesso motivo di instabilità a causa dei fenomeni di precessione e nutazione.

Quando il proiettile lascia la canna esso ha sempre un movimento “oscillante”. Ossia la punta del proiettile non è costantemente orientata ma disegna nella realtà un cono intorno all’asse di spostamento, cono avente il proprio vertice centrato sul baricentro del proiettile. Questo movimento può essere conseguenza di più fattori: imperfezioni nella costruzione del proiettile (come le differenze di spessore del mantello o differente densità dei materiali), rinculo e soffio di bocca dell’arma, o anche dovuto alla mancanza di concentricità tra l’asse della canna e quello del proiettile al transito di quest’ultimo. Inoltre, la punta del proiettile non descrive solo una circonferenza dovuta alla precessione ma, “sbanda” continuamente a causa di un movimento sovrapposto al primo, la nutazione, un altro fenomeno del moto giroscopico.

– Vista laterale movimento di precessione (smorzata) e frontale di nutazione e precessione –

 

Quando la pallottola viaggia lungo la sua traiettoria, questi movimenti vengono progressivamente smorzati per azione del flusso d’aria che spinge lungo la superficie del proiettile. In questo caso, il proiettile è dinamicamente stabilizzato. Se l’oscillazione non è smorzata, il proiettile non è dinamicamente stabilizzato, e oltre ad essere meno preciso, può anche ribaltarsi. A differenza della stabilità statica, non possiamo prevedere la stabilità dinamica. Esistono delle equazioni per calcolare il fattore di stabilità dinamica, ma è necessario conoscere troppe variabili, molte delle quali difficilmente ottenibili.
 

Instabilità transonica

La stabilità statica e quella dinamica se verificate, riescono a mantenere un proiettile accurato anche a grande distanza. Tuttavia, ad un certo punto durante il volo della pallottola, la stabilità può essere comunque compromessa. Questo può accadere quando la velocità del proiettile si riduce sino ad attraversare la regione transonico.

Finché il proiettile vola a velocità supersonica, il centro di pressione si trova in un punto intermedio predeterminato tra la punta del proiettile ed il suo centro di gravità. Proseguendo lungo la propria traiettoria il proiettile perde velocità a causa della resistenza dell’aria, sino a raggiungere la cosiddetta “regione transonica” ossia una velocità compresa tra 1,2 e 0,8 Mach. Quando un proiettile vola attraverso la regione transonica, l’aerodinamica cambia drasticamente.

Quello che accade è che il centro di pressione potrebbe non trovarsi più nella posizione inizialmente stimata, esso tenderà a muoversi inducendo una potenziale instabilità dinamica. Il risultato è che l’angolo di attacco e di imbardata del proiettile potrebbero radicalmente cambiare, invalidando tutte le previsioni di traiettoria fatte, e rendendo impossibile compensare correttamente caduta e deriva. Si potrebbe anche produrre un aumento delle oscillazioni tale da portare ad un decadimento della precisione e persino al ribaltamento. Questo è il motivo per cui oltre la regione transonica si potrebbero osservare sul bersaglio i famigerati “keyholes”, fori oblunghi causati dall’intraversamento del proiettile prima dell’impatto sul bersaglio.

Si diceva “potrebbe” perché non è escluso che il proiettile, nonostante passi in regione transonica, la attraversi senza problemi. La capacità di una pallottola di superare la regione transonica è difficile da prevedere perché troppi sono i fattori che entrano in gioco. In generale, la cosa migliore da fare è quella di cercare di evitare bersagli a distanze superiori a quelle a cui i proiettili si approssimano a 1,2 Mach, considerando quella come la portata reale massima del sistema d’arma in uso.
 

Conclusioni

E’ evidente l’importanza della scelta del passo di rigatura che, come visto negli esempi, non può essere “universale”. L’utilizzo di un fattore di stabilizzazione vicino al valore limite (1,3) consente una migliore precisione essendo minimizzate eventuali imperfezioni del proiettile ma, può presentare problemi nel caso di tiri in condizioni di alta densità atmosferica o con proiettile disturbato ad esempio dall’attraversamento della vegetazione. Tra i metodi di calcolo presentati si consiglia l’uso della formula di Miller, che sebbene non tenga conto della morfologia del proiettile, è di semplice applicazione ed ha trovato vari consensi e conferme. In alternativa, o per una verifica più dettagliata può essere utilizzato il programma WinGyro, un po’ più impegnativo da impiegare, ma che tiene conto anche delle caratteristiche morfologiche del proiettile.

 

Bibliografia:
[1] G. A. Pignone – “Appunti di balistica”
[2] Robert McCoy – “Modern Exterior Ballistic”
[3] Don Miller – “Precision Shooting” (marzo 2005 p.43)
[4] Don Miller – “Precision Shooting” (giugno 2009 p.48)
[5] Brian Litz – “Applied Ballistic for Long Range Shooting”
[6] Paolo N. Sinha – “La Traiettoria Perfetta”
 


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2 Commenti

  1. Michele

    Buongiorno
    Complimenti vivissimi per il modo e il metodo con chi affrontate questi argomenti.
    Una domanda: il passo di rigatura è condizionato anche dal fatto che si usino ogive “monolitiche” in rame?
    Grazie

  2. Speedy

    Ciao Michele, grazie per il tuo messaggio.
    Dal punto di vista della stabilità, una ogiva monolitica in rame invece che con nucleo in piombo, tende ad abbassare il coefficiente di stabilità del proiettile. A parità di peso, calibro e forma del proiettile infatti, la palla monolitica sarà necessariamente più lunga a causa del minor peso specifico del metallo che la costituisce. Analogamente, anche mantenendo uguale la lunghezza del proiettile, la palla monolitica sarà necessariamente più leggera di quella in piombo. Ci si accorge facilmente della riduzione della stabilità osservando l’equazione di Miller:

    A parità degli altri parametri, sia una riduzione di massa (m al numeratore) che un incremento di lunghezza (l al denominatore) determinano una riduzione del coefficiente di stabilità s.

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