Autore: Fabio Ottobre 18, 2010 10 Commenti

di Alberto Garofalo          

La precisione di un’arma è fortemente legata ad una corretta stabilizzazione del proiettile, che a sua volta dipende dalle caratteristiche di questo (in particolare peso e lunghezza) e dal passo di rigatura dell’arma. L’uso di un passo di rigatura o di un proiettile non appropriato può non solo dare rosate più ampie della norma ma anche portare a risultati erratici in termini di precisione, qualora la stabilizzazione risulti insufficiente.

Se consideriamo che per taluni calibri, in particolare per le carabine, sono disponibili armi con passi di rigatura molto diversi tra loro (con differenze anche del doppio) e palle di peso altrettanto diverso, la scelta del binomio arma munizione, indipendentemente dal fatto che si usino munizioni ricaricate o commerciali, diventa davvero cosa non di poco conto. Ed il problema si presenta più frequentemente di quanto si pensi !

Contrariamente ad altri tipi di calcoli balistici, il passo di rigatura ottimale per stabilizzare un determinato proiettile (problematica spesso poco trattata da libri e riviste) richiede informazioni facilmente reperibili e può essere calcolato utilizzando alcune semplici formule empiriche o utilizzando alcuni programmi scaricabili da internet che vengono descritti in questo articolo dopo una trattazione sintetica di alcuni concetti generali.

 

Aspetti Generali

Per stabilità intendiamo la capacità del proiettile di mantenere un corretto orientamento lungo la traiettoria e di ritornare in questo stato se disturbato. In termini più rigorosi, detto “i” l’angolo di incidenza (vedi Fig.1), ossia l’angolo compreso tra l’asse del proiettile e la direzione di volo, saremo in condizione di stabilità se con il procedere lungo la traiettoria tale angolo tenderà a ridursi o al più, rimarrà molto contenuto.

Sul proiettile possiamo distinguere due punti: il centro di massa (G) e il centro di spinta (C). Il centro di massa (o baricentro) è il punto nel quale vengono applicate la forza di gravità e le forze di inerzia e che traccia il moto del proiettile. Il centro di spinta è invece il punto nel quale vengono applicate le forze aerodinamiche (portanza e resistenza dell’aria). Il tutto può essere schematizzato come in figura:

Figura 1 – Forze agenti sul proiettile in traiettoria. Nel disegno: forza peso (mg); forza aerodinamica (F); resistenza aerodinamica (R); portanza (P); angolo di incidenza (i); centro di spinta (C); centro di massa (G); velocità del proietto (v); braccio di forza (b)

 

Essendo le forze applicate in due punti diversi, si viene e creare un braccio (b) o momento, che tende a ribaltare il proiettile che deve pertanto essere stabilizzato. Il fenomeno della tendenza al ribaltamento (tumbling) è reso evidente nella balistica terminale, quando il proiettile, attraversando mezzi ben più densi dell’aria (tessuti molli, gelatina balistica, ecc.) non è sufficientemente stabilizzato e compie dei ribaltamenti essendo spesso rinvenuto capovolto al termine del tramite.

La stabilizzazione può essere ottenuta in vari modi che riassumiamo qui brevemente:

• Uso di proiettile sferico
  E’ la soluzione più antica. In questo caso centro di massa e centro di spinta coincidono e pertanto il problema del ribaltamento non sussiste. A parte gli ovvi svantaggi aerodinamici, proiettili di questo tipo se deformati o per densità del materiale non omogenea (centro di massa e centro di spinta non coincidono più) possono dare origine a traiettorie irregolari oltre al noto effetto Magnus qualora per qualche motivo sia innescato un movimento di rotazione.

• Stabilizzazione tramite “alette sottili”
  Questo sistema è utilizzato per frecce, razzi, proiettili con borra d’impennaggio (es. palle in cal. 12) ecc. In questo tipo di proiettili (si pensi a una freccia) il centro di spinta si trova in posizione molto arretrata (in prossimità delle alette) ed il centro di massa si trova invece all’estremità (sulla porzione anteriore più pesante) che è piuttosto distante dal centro di spinta. Sulla base di calcoli matematici (e l’esperienza lo conferma), un proiettile con questa conformazione viene a compiere durante la sua traiettoria anche un moto sinusoidale avente una ampiezza più o meno elevata a seconda delle caratteristiche del proiettile, che può influire sulla precisione del tiro. Il fenomeno descritto è evidente quando si osserva ad esempio il lancio dei fuochi artificiali.

• Stabilizzazione giroscopica
  Valgono essenzialmente le considerazioni matematiche per il moto giroscopico della trottola, dove nel caso del proiettile la reazione del piano è sostituita dalla resistenza dell’aria. La stabilizzazione si basa sulla tendenza dei giroscopi di mantenere “costante” la direzione del proprio asse di rotazione. Per la trattazione teorica dell’argomento si rimanda ai vari testi di balistica ([1] e [2]). Per i nostri scopi è sufficiente descrivere le principali caratteristiche della stabilizzazione giroscopica. Questa dipende essenzialmente dai seguenti fattori: passo di rigatura, lunghezza del proiettile, massa del proiettile, velocità del proiettile e densità del mezzo attraversato. Più il proiettile è lungo (a parità di calibro più pesante), maggiore è la stabilizzazione richiesta. Un mezzo più denso richiede una maggiore stabilizzazione. In maniera inferiore influiscono anche altri parametri del proiettile, quali la lunghezza del “naso” e la rastrematura della coda che vanno a modificare, seppure in maniera minore, il suo momento d’inerzia che è il vero parametro che condiziona la stabilizzazione.E’ importante ricordare inoltre che la velocità di rotazione diminuisce molto di meno di quanto non faccia la sua velocità di traslazione, pertanto anche nel caso di tiri lunghi, il problema di perdita di stabilizzazione giroscopica è molto ridotto. Possono però presentarsi problemi di stabilità dinamica che descriveremo più avanti. Una non corretta stabilizzazione giroscopica può generare proiettili ipostabili se insufficiente o iperstabili se eccessiva. I proiettili ipostabili danno risultati erratici in termini di coefficiente balistico e precisione in conseguenza della scarsa stabilizzazione che implica ampi movimenti in beccheggio e imbardata (più esattamente ci si riferisce ai movimenti di precessione e nutazione) tali da cambiare il profilo del proiettile che impatta contro l’aria (angolo di incidenza variabile). I proiettili iperstabili invece tendono a esaltare eventuali imperfezioni (es. differenza spessore del mantello in un punto, asimmetrie varie, ecc.) con conseguente ripercussione sulla precisione.

 

Criteri per la valutazione della stabilizzazione giroscopica

Poiché le equazioni desunte da considerazioni teoriche sono piuttosto complesse e non facilmente applicabili, nel corso degli anni sono state sviluppate varie equazioni empiriche molto più semplici che possono essere utilizzate inserendo alcuni valori facilmente ottenibili o misurabili. Sono inoltre disponibili in internet programmi in grado di eseguire tale tipo di calcoli. Vediamo ora queste formule in dettaglio.
 

• Formula di Greenhill
  Questa formula fu sviluppata nel 1879 per proiettili subsonici di artiglieria con densità di 10,9 g/cm³. E’ storicamente la prima formula sviluppata per la valutazione della stabilità ed è espressa come segue:

  

  dove:
  t = passo di rigatura in calibri
  l = lunghezza del proiettile in calibri

  od anche:

  

  dove:
  T = passo di rigatura in pollici
  L = lunghezza del proiettile in pollici
  D = diametro del proiettile in pollici

  Il valore di 150 vale per una velocità di 1500 piedi/sec (457 m/sec), per velocità di 2800 piedi al secondo (853 m/sec) si usa invece la costante 180.
  La formula di Greenhill esiste anche in versioni aggiornate per le densità tipiche dei proiettili moderni [4] che possono essere anche abbastanza diverse da quelle dei proiettili per i quali è stata sviluppata. A questo proposito si dovrà considerare un opportuno coefficiente di correzione:

  

  dove:
  d = densità proiettile in g/cm³

 

• Formula di Bowman
  Si tratta di una formula pubblicata da Les Bowman nel 1962 su Gun Digest. Per una velocità di 1840 piedi al secondo (561 m/sec) dà risultati coincidenti con la formula di Greenhill. La formula è la seguente:

  

  dove:
  T = passo di rigatura in pollici
  v = velocità del proiettile in piedi al secondo
  D = diametro del proiettile in pollici
  L = lunghezza del proiettile in pollici
  Si tratta di una modificazione della formula di Greenhill.
  La formula è anche utilizzabile online sul seguente sito:
  https://kwk.us/twist.html

 

• Equazione empirica semplificata suggerita dalla CFOA
  La CFOA, Canadian Firearms Owner Association, propone un calcolo semplifica del fattore di stabilità suggerendo l’uso della seguente relazione [6]:

  

  dove:
  s = fattore di stabilizzazione (adimensionale)
  m = massa del proiettile
  T = passo di rigatura
  D = diametro del proiettile
  L = lunghezza del proiettile

  A e B sono delle costanti definite in base al sistema usato, metrico (g, mm, m/s) o anglosassone (grs, pollici, fps):

  	Anglosassone	Metrico
  A =	425,1844	4233209
  B =	5705	1739

  Usando l’equazione della CFOA si potranno avere quattro possibili casi:

  s < 1,0	→	ipostabilità
  1,0 < s < 1,3	→	quasi stabilità
  1,3 < s < 1,5	→	stabilità
  1,5 < s	→	iperstabilità

  Fissato s compreso tra 1,3 ed 1,5 si possono anche ricavare dalle relazioni inverse i parametri di ricarica o dell’arma, ossia: v (velocità alla volata) o T (passo di rigatura ottimale). Da un rapido confronto, la relazione della CFOA risulta un po’ più conservativa rispetto a quella, anch’essa molto usata, di Miller (a seguire).

 

• Formula di Harris
  Ci limitiamo semplicemente a citare questa formula per completezza di testo, poiché è poco conosciuta e sembra avere scarso riscontro con i dati sperimentali [4].

  

  dove:
  T è il passo di rigatura in pollici.
  Per la simbologia riguardante gli altri parametri si veda la formula di Miller a seguire.

 

• Formula di Miller
  Questa formula di recente sviluppo (2005) consente di calcolare la stabilità per proiettili moderni tenendo conto anche di parametri come la velocità e la temperatura. E’ espressa come segue:

  

  dove:
  s = fattore di stabilizzazione (adimensionale)
  30 = costante che vale per una velocità di 2800 fps (853 m/s) in condizioni “U.S. Army Standard Metro”: 59°F (15°C), 750 mmHg, 78% umidità relativa.
  m = massa del proiettile in grani
  t = passo di rigatura in calibri
  D = diametro del proiettile in pollici
  l = lunghezza del proiettile in calibri

  od anche:

  

  dove:
  T = passo di rigatura in pollici
  L = lunghezza del proiettile in pollici

  La stabilizzazione ottimale si ha per un valore di s compreso tra 1,3 (1,5 per usi militari) e 2,0. Tuttavia fattori di stabilizzazione fino a 3,5 non sembrano dare particolari problemi di iperstabilità. Operando con un fattore di stabilizzazione intorno ad 1,3 sono minimizzati eventuali effetti dovuti a difetti del proiettile [4] ottenendo una maggiore precisione. Questa è pratica comune tra i tiratori di Bench Rest.Per velocità diverse da quelle riportate basta moltiplicare s per il seguente parametro correttivo:

  

  Per condizioni atmosferiche o altitudini diverse, s va invece moltiplicato per il seguente valore:

  

  dove:
  ρ_std = densità dell’aria alle condizioni standard
  ρ = densità dell’aria alle condizioni sperimetali (quota, temperatura, ecc.)

  Al mutamento di temperatura e pressione, considerando costante l’umidità relativa, possiamo anche riferirci alla seguente relazione:

  

  dove:
  C = temperatura dell’aria alle condizioni sperimetali in gradi Celsius
  P = pressione dell’aria alle condizioni sperimetali in mmHg

  La formula è utilizzabile online sul seguente sito:
  www.jbmballistics.com/cgi-bin/jbmstab-5.1.cgi
  oppure può essere scaricata come file Excell dal seguente sito:
  https://bulletin.accurateshooter.com/2008/06/calculating-bullet-rpm-spin-rates-and-stability/

  Si tratta di una formula di uso molto frequente con ottimo accordo tra valori teorici e sperimentali [4] utilizzata anche da Brian Litz [5]. Pertanto ci dilungheremo con qualche esempio. Sulla Tabella 1 (a seguire) sono riportati i valori del fattore di stabilizzazione (s) per alcuni passi di rigatura per due proiettili Sierra MatchKing in .223 Remington in condizioni standard ICAO (59°F, 760 mmHg: 0 m slm, 0 % umidità relativa). Tali condizioni (ICAO è la International Civil Aviation Organization), che sono diverse da quelle cui fa riferimento la formula di Miller, sono utilizzate in alcuni programmi Excell e pertanto si è deciso di fare riferimento a queste per motivi di praticità di calcolo. L’influenza sul risultato finale è comunque pressoché trascurabile. La scelta del .223 Remington come esempio ci è sembrata significativa in quanto per questo calibro (ma non è il solo) è disponibile un’ampia gamma di passi di rigatura (da 1:7 a 1:14 pollici) e di granitura di palle (da 40 grs a 90 grs).

  Peso (grs)	Lunghezza (pollici)	Velocità (fps)	Passo rigatura (pollici)	Stabilità s	Note
  80	1,06	2800	7	2,0	Stabile
  			9	1,2	Ipostabile
  			12	0,7	Ipostabile
  52	0,71	3200	7	4,2	Iperstabile
  			9	2,5	Iperstabile
  			12	1,4	Stabile

  Tabella 1 – stabilità proiettili Sierra MatchKing in .223 Remington

   

  Come si vede dai dati, la palla da 80 grs può essere impiegata su una rigatura da 1:7 pollici, ma già su una rigatura da 1:9 pollici comincia ad avere problemi di stabilità (la Sierra per questo proiettile raccomanda una rigatura da 7 o 8 pollici). Il problema opposto lo abbiamo invece con la palla da 52 grs che deve essere utilizzata con passi di rigatura di 12 pollici per evitare problemi di iperstabilizzazione. Per tali proiettili la formula di Greenhill (il calcolo è stato eseguito utilizzando la densità originale di 10,9 g/cm³) dà valori di passo di rigatura ottimale di 8,5 e 12,7 pollici rispettivamente cui corrisponde per entrambi un fattore di stabilizzazione di 1,3 calcolato con la formula di Miller. La formula di Bowman dà invece come passi di rigatura ottimali 8,8 e 14 pollici che darebbero proiettili ipostabili secondo la formula di Miller. Un ampio confronto tra queste formule è riportato nell’articolo di Don Miller [4].

  A temperature più basse, ad esempio -15°C (5°F), il fattore di stabilizzazione per il proiettile da 80 grs passa a 1,8 per la rigatura da 7 pollici ed a 1,1 per la rigatura da 9 pollici. Pertanto non sempre è consigliabile operare al limite della stabilizzazione perché la variazione dei parametri ambientali può avere effetti non trascurabili sul fattore di stabilità. Significativo a questo proposito quanto citato da Miller [3] a proposito di un tiratore di Bench Rest che in una competizione svoltasi con clima rigido riscontrava sul bersaglio fori ovalizzati (evidente segno di proiettile ipostabile) con conseguente perdita di precisione. Esclusi tutti gli altri fattori, un semplice calcolo teorico ha permesso di attribuire la responsabilità al clima rigido (maggiore densità dell’aria) che aveva portato ad un decremento della stabilizzazione del proiettile.

 

Programma di calcolo WinGyro

Questo programma, che si basa sui principi teorici di R.L.McCoy [2] (famoso esperto di balistica mancato anni fa), consente di tenere conto anche dei parametri di forma del proiettile e delle differenze di densità dovute a diverse configurazioni (es. mantellato, perforante, punta cava, ecc.). I dati da inserire possono essere reperiti o misurati facilmente fatta eccezione forse per i parametri relativi all’ogiva (es. raggio ogiva secante) che possono essere difficili da misurare.

Questi ultimi possono tuttavia essere facilmente reperiti nel libro di Brian Litz [5] che riporta un dettagliato elenco di parametri dimensionali e balistici per un elevato numero di proiettili nei calibri di uso comune nel tiro di precisione e nella caccia. Il programma anche se non consente di inserire i parametri concernenti le condizioni ambientali (i dati ottenuti fanno riferimento a condizioni atmosferiche standard) consente una accurata determinazione della stabilizzazione fornendo un tabulato del parametro di stabilità per intervalli di 100 piedi al secondo. In Figura 2 viene riportata la schermata iniziale del programma.

Figura 2 – Schermata iniziale del programma WinGyro

Nella Tabella 2 si riportano i risultati ottenuti con questo programma per i proiettili dell’esempio precedente. In questo caso è stata fatta variare anche la lunghezza dell’ogiva (Nose Length) che è il parametro che dopo i fattori già detti maggiormente influenza la stabilizzazione. Per facilitare il confronto, i valori ottenuti con la formula di Miller sono stati riportati tra parentesi. Per la palla da 80 grs non è stato calcolato il fattore di stabilità con la rigatura da 12 pollici, in quanto non risulta stabilizzata già con la rigatura da 9 pollici. L’accordo con la formula di Miller sembra essere soddisfacente.

Peso (grs)	Lunghezza (pollici)	Velocità (fps)	Lunghezza “naso” (pollici)	Stabilità s per Passo di rigatura in pollici
				7	9	12
80	1,06	2800	0,1	1,4	0,9	–
			0,2	1,5	0,9	–
			0,3	1,6	1,0	–
			0,4	1,7	1,0	–
			0,5	1,8	1,0	–
			0,6*	2,0 (2,0)	1,2 (1,2)	–
52	0,71	3200	0,3	4,0	2,4	1,3
			0,4	4,2	2,5	1,4
			0,5*	4,4 (4,2)	2,7 (2,5)	1,5 (1,4)
			0,6	4,7	2,8	1,6
(*): Valori prossimi a quelli reali: 0,63 e 0,46 pollici rispettivamente

Tabella 2 – calcolo della stabilità con il programma WinGyro per i proiettili Sierra MatchKing in .223 Remington dell’esempio precedente

 

Dalla tabella è evidente che più il proiettile tende ad assumere una forma vicina a quella cilindrica (ha cioè la parte ogivale corta) più è difficile da stabilizzare, e questo perché come detto in precedenza ai fini della stabilizzazione influisce anche la forma del proiettile. Se nel programma avessimo inserito una voce diversa nella parte “Bullet Construction” (Es. nucleo perforante anziché FMJ) avremmo ottenuto ancora una volta risultati diversi perché saremmo andati a fare variare la densità del proiettile parametro che come abbiamo visto influenza anch’esso i risultati in maniera rilevante e di cui le formule empiriche qui descritte tengono conto anche se non in maniera esplicita. Quello di Tabella 2 deve essere ovviamente considerato un puro esercizio numerico dato che certe dimensioni (ad esempio proiettili da 80 grs con un naso di soli 0,1 pollici) hanno certamente poco senso.
 

Stabilità dinamica

Come menzionato parlando di stabilizzazione giroscopica, per evitare il ribaltamento, il proiettile può essere stabilizzato imprimendo un movimento rotatorio intorno al suo asse longitudinale. L’interazione tra moto giroscopico e forze aerodinamiche può essere tale da generare fenomeni di instabilità. In altre parole le forze aerodinamiche come: la resistenza all’avanzamento, la portanza e l’effetto Magnus, vanno a combinarsi con le forze giroscopiche e determinano potenziali alterazioni dell’asse di rotazione del proiettile.

Quando il proiettile lascia la canna esso ha sempre un movimento “oscillante”. Ossia la punta del proiettile non è costantemente orientata ma disegna un movimento epicicloidale intorno all’asse di spostamento. Questo movimento oltre ad essere causato, per reazione giroscopica, dalla resistenza dell’aria, è conseguenza di fattori come: imperfezioni nella costruzione del proiettile (come le differenze di spessore del mantello o differente densità dei materiali), rinculo e soffio di bocca dell’arma, o anche dovuto alla mancanza di concentricità tra proiettile e canna. Il movimento epicicloidale è la combinazione di due moti sovrapposti: la precessione, tale da far descrivere alla punta del proiettile una circonferenza intorno all’asse di spostamento; e la nutazione, ossia uno “sbandamento” continuo sovrapposto al primo moto e anch’esso legato all’effetto giroscopico.

– Vista laterale moto di precessione smorzato e frontale di nutazione e precessione sovrapposti –

 

Quando la pallottola viaggia lungo la sua traiettoria, solitamente questi movimenti vengono progressivamente smorzati. In questo caso, il proiettile risulta dinamicamente stabilizzato. Al ridursi della velocità di avanzamento, eventuali perturbazioni potrebbero accentuare nuovamente tali oscillazione sino ad avere un progressivo peggioramento. In questo caso il proiettile non è più dinamicamente stabile e, oltre ad essere meno preciso, potrebbe anche ribaltarsi. A differenza della stabilità statica, non possiamo prevedere la stabilità dinamica. Esistono delle equazioni per calcolare il fattore di stabilità dinamica, ma è necessario conoscere troppe variabili, molte delle quali (soprattutto le aerodinamiche) difficilmente ottenibili.
 

Instabilità transonica

La stabilità statica e quella dinamica se verificate, riescono a mantenere un proiettile accurato anche a grande distanza. Tuttavia, ad un certo punto durante il volo della pallottola, la stabilità può essere comunque compromessa. Questo può accadere quando la velocità del proiettile si riduce sino all’approssimarsi della barriera sonica.

Finché il proiettile vola a velocità supersonica, il centro di pressione si trova in un punto intermedio predeterminato tra la punta del proiettile ed il suo centro di gravità. Proseguendo lungo la propria traiettoria il proiettile perde velocità a causa della resistenza dell’aria, sino a raggiungere la cosiddetta “regione transonica” ossia una velocità compresa tra 1,2 e 0,8 Mach. Quando un proiettile vola attraverso la regione transonica, l’aerodinamica cambia drasticamente.

Quello che accade è che il centro di pressione potrebbe non trovarsi più nella posizione inizialmente stimata, esso tenderà a muoversi inducendo una potenziale instabilità dinamica. Anche il tipicamente trascurato effetto Magnus, rischia in alcuni casi di mettere in crisi l’intero sistema. Il risultato è che l’angolo di incidenza del proiettile potrebbe radicalmente cambiare, invalidando tutte le previsioni di traiettoria fatte, e rendendo impossibile compensare correttamente caduta e deriva. In queste condizioni l’aumento in ampiezza del movimento di precessione e nutazione è tale da portare persino al ribaltamento. Questo è il motivo per cui oltre la regione transonica sul bersaglio si osservano alcune volte i famigerati “keyholes”, fori oblunghi causati dall’intraversamento del proiettile prima dell’impatto sul bersaglio.

Si diceva “potrebbe” perché non è escluso che il proiettile, nonostante passi in regione transonica, la attraversi senza problemi. La capacità di una pallottola di superare la regione transonica è difficile da prevedere perché troppi sono i fattori che entrano in gioco. In generale, la cosa migliore è quella di cercare di evitare bersagli a distanze superiori a quelle a cui i proiettili si approssimano a 1,2 Mach, considerando quella come la portata reale massima del sistema d’arma in uso.
 

Conclusioni

E’ evidente l’importanza della scelta del passo di rigatura che, come visto negli esempi, non può essere “universale”. L’utilizzo di un fattore di stabilizzazione vicino al valore limite (1,3) consente una migliore precisione essendo minimizzate eventuali imperfezioni del proiettile ma, può presentare problemi nel caso di tiri in condizioni di alta densità atmosferica o con proiettile disturbato ad esempio dall’attraversamento della vegetazione. Tra i metodi di calcolo presentati si consiglia l’uso della formula di Miller, che sebbene non tenga conto della morfologia del proiettile, è di semplice applicazione ed ha trovato vari consensi e conferme. In alternativa, o per una verifica più dettagliata può essere utilizzato il programma WinGyro, un po’ più impegnativo da impiegare, ma che tiene conto anche delle caratteristiche morfologiche del proiettile.

 

Bibliografia:
[1] G. A. Pignone – “Appunti di balistica”
[2] Robert McCoy – “Modern Exterior Ballistic”
[3] Don Miller – “Precision Shooting” (marzo 2005 p.43)
[4] Don Miller – “Precision Shooting” (giugno 2009 p.48)
[5] Brian Litz – “Applied Ballistic for Long Range Shooting”
[6] Paolo N. Sinha – “La Traiettoria Perfetta”

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