Autore: Fabio Febbraio 28, 2011 2 Commenti

di Alberto Garofalo          

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Sezioni dell’articolo

• ASPETTI GENERALI
• Introduzione e analisi
• Fattori che influenzano i fenomeni terminali
• Classificazione dei bersagli secondo lo spessore
• Perforazione e penetrazione
• Comportamento del proiettile all’impatto
• Velocità di impatto
• Diagramma di Stato
• Velocità di transizione idrodinamica
• Velocità Limite Statistica
• Limite Balistico

• PRINCIPALI FENOMENI LEGATI ALLA PENETRAZIONE
• Taglio adiabatico
• Erosione idrodinamica
• Strisce di taglio adiabatiche (adiabatic shear band)

• MODALITÀ DI PENETRAZIONE
• Plugging
• Petalling
• Piercing
• Craterizzazione Posteriore o Spalling
• Distacco di tappo o Scabbing

• EQUAZIONI
• Soluzioni numeriche
• Equazioni analitiche approssimate
• Equazioni Empiriche o quasi analitiche

• CONCLUSIONI E COMMENTI

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La balistica terminale è la branca della balistica che studia l’interazione del proiettile con il bersaglio al fine di determinarne l’efficacia. A differenza della balistica interna ed esterna si tratta di una materia molto complessa che non ha leggi precise ma varie teorie scientifiche che talvolta danno una spiegazione solo parziale dei fenomeni terminali. Tra questi, i più interessanti sono gli effetti legati all’incremento di velocità (es. erosione idrodinamica, strisce di taglio adiabatico, ecc.) che non si verificano con proiettili aventi la medesima energia cinetica ma velocità più bassa.

In questo articolo ci occuperemo principalmente dell’impatto di proiettili per armi leggere su bersagli consistenti (hard targets) di materiale vario con particolare riferimento ai materiali metallici. Sarà data anche una breve trattazione degli impatti a velocità elevata (prossima ai 2000 m/s) ed elevatissima (oltre 5000 m/s) tipici della carica cava. Al fine di non appesantire il testo e mantenerlo facilmente comprensibile abbiamo deciso di fornire una panoramica generale dell’argomento, evitando di dilungarci in tediose dimostrazioni matematiche.

ASPETTI GENERALI (↑)

In questo paragrafo si fa riferimento ad alcuni concetti e termini generali utili per comprendere l’argomento. Alcuni termini citati saranno spiegati più diffusamente nelle sezioni successive.

Introduzione e analisi (↑)
Il processo penetrativo almeno come aspetti generali, è interpretabile come estensione delle relazioni già individuate per la balistica esterna, considerando però in questo caso il moto del proietto all’interno di un mezzo molto più denso e resistente alla penetrazione di quanto si ha con l’aria.

Possiamo dire che l’equazione generale di riferimento per i fenomeni penetrativi è quella di Arthur Dziemian (relazione già ipotizzata da W.A. Allen, E.B. Mayfield e H.L. Morrison) ricavata dopo alcuni test di penetrazione di sfere d’acciaio in gelatina al 20% al fine di prevederne la penetrazione anche in materiali diversi. Per le prove furono usate sfere con raggi di 3/16 di pollice, 1/4, 3/8 e 7/16 e velocità di impatto fino a 3300fps (circa 1000m/s). Con precisione, differenziando i dati sperimentali, Dziemian notò che la decelerazione del proiettile durante la penetrazione era governata dalla seguente equazione differenziale:

m dV/dt = – [AV² + BV + C]

dove:
m = massa proiettile (assunta costante)
V = velocità del proiettile
t = tempo (variabile indipendente)
A = parametro relativo alla resistenza fluidodinamica
B = parametro relativo alla decelerazione causata dagli attriti sulla superficie del proiettile
C = forza di decelerazione causata delle caratteristiche intrinseche del materiale penetrato (struttura)

Per la natura delle prove sperimentali e la fisica del problema, l’equazione è valida quando il materiale penetrato può essere considerato di spessore semi-infinito e/o gli effetti marginali, di confine (distanza della superficie opposta al punto di impatto), sono trascurabili.

Nell’equazione sopra citata, A è un parametro di resistenza fluidodinamica ed è legato alla densità del materiale penetrato, all’assetto del proiettile, alla sua forma (coefficiente Cd) e alla sezione frontale dello stesso (non alle altre sue dimensioni):

A = ρ • C_d • S/2

con:
ρ = densità del mezzo penetrato
C_d = coefficiente di resistenza fluidodinamica
S = sezione retta proiettile

Similmente, il parametro B è legato alla forza di attrito sulla superficie del proiettile, alle sue dimensioni (coefficiente Cf) ed alle caratteristiche del mezzo penetrato (numero di Reynolds):

B = ρ • C_f • S/2

con:
ρ = densità del mezzo penetrato
C_f = coefficiente di resistenza per frizione
S = sezione retta proiettile

C rappresenta invece la forza di resistenza strutturale alla penetrazione del bersaglio, essa dipende dalla forma del proiettile e dalle caratteristiche di coesione e deformazione plastica del materiale penetrato (entrambe le proprietà riassunte nel coefficiente Cm):

C = ρ • C_m • S/2

con:
ρ = densità del mezzo penetrato
C_m = coefficiente di resistenza strutturale
S = sezione retta proiettile

Risolvendo l’equazione differenziale di Dziemian si possono notare importanti relazioni tra la profondità di penetrazione del proietto e le caratteristiche della collisione con il bersaglio. In particolare:

– Nel caso di penetrazione di materiali duri e strutturalmente rigidi come protezioni balistiche e simili, a velocità non troppo elevate (minori di 1000m/s) si possono trascurare la resistenza fluidodinamica e l’attrito di frizione sulla superficie del proiettile (A=0, B=0, C≠0), la penetrazione sarà pari a :

con:
ρ = densità del mezzo penetrato
C_m = coefficiente di resistenza strutturale
S = sezione retta proiettile
V₀ = velocità di impatto
m = massa del proietto
E_c = energia cinetica

Dalla relazione si nota come la penetrazione sarà proporzionale all’energia cinetica iniziale del proiettile per unità di superficie (sezione retta dello stesso), anche detta densità di energia, moltiplicata per un coefficiente dipendente dalla resistenza strutturale del materiale penetrato. Possiamo anche dire che, a parità di energia cinetica, sarà avvantaggiato il proiettile con densità sezionale (m/S) più alta.

– Nel caso più generale (A≠0, B≠0, C≠0) si otterrà comunque una penetrazione proporzionale all’energia cinetica del proietto per unità di superficie (densità di energia) :

– Per la penetrazione in materiali strutturalmente “morbidi” come i liquidi (con una certa approssimazione si potrebbe adottare il modello anche per le gelatine), ossia nei casi in cui il materiale del bersaglio abbia una struttura così debole da poter supporre trascurabile la forza necessaria per “romperla” (A≠0, B≠0, C=0) avremo:

in questo caso la penetrazione è proporzionale alla quantità di moto (Q) del proiettile per unità di superficie piuttosto che dall’energia cinetica da esso posseduta.

Altri fattori che influenzano i fenomeni terminali (↑)
I fenomeni legati all’impatto del proiettile con il bersaglio oltre a dipendere dalle caratteristiche di questi (densità, durezza, ecc.) e dalla velocità e forma/struttura del proiettile, dipendono anche da altri due fattori spesso trascurati: lo spessore del bersaglio (effetti di confinamento) e la struttura del suo supporto. Ad esempio lo spessore del bersaglio influenza non solo i fenomeni legati all’impatto, ma in taluni casi anche i valori di velocità minima per la quale si ha penetrazione completa o perforazione.

Fenomeni come lo spalling o lo scabbing (descritti più avanti), che comportano la formazione di un ampio cratere dalla parte opposta della zona d’impatto, tendono a ridursi progressivamente sino a scomparire con l’aumento dello spessore del bersaglio. La geometria del supporto cambia invece i tempi e le modalità di assorbimento dell’energia cinetica del proiettile da parte del bersaglio, specie se “sottile”. Questo è un aspetto molto importante di cui si deve tenere conto quando ad esempio vengono testati materiali di protezione balistica, quali lamiere [6], vetro e giubbini a prova di proiettile.

Classificazione dei bersagli secondo lo spessore (↑)
Poichè lo spessore influenza in maniera significativa i fenomeni connessi alla penetrazione, è stata proposta una classificazione dei bersagli in base a questo parametro, il cui principale effetto è relativo all’entità e tipologia dell’onda riflessa dalla superficie del bersaglio opposta a quella del punto di impatto. L’onda riflessa può interagire con quella generata all’impatto. Questo concetto, sarà meglio chiarito nei paragrafi relativi allo spalling e al comportamento del proiettile all’impatto.

Un parametro usato è il rapporto t/r dove t è lo spessore del bersaglio ed r il raggio del proiettile. In particolare secondo il valore di questo rapporto sono associabili alcuni eventi:

– t/r >> 1: con velocità di impatto vicina al limite balistico (velocità minima per la penetrazione, vedi sotto) si ha formazione di un tappo metallico (plugging).
– t/r ≈ 1: con velocità vicina al limite balistico si possono avere sia distacco di tappo metallico (plugging) che formazione di petali (petalling) a seconda delle caratteristiche del bersaglio, del proiettile e del supporto.
– t/r << 1: per basse velocità d’impatto si ha la formazione di petali, con velocità di impatto molto superiore al limite balistico si ha invece formazione di tappo metallico.

Altri autori [1] classificano i bersagli sulla base dello spessore come a seguire:

– Semi infinito: lo spessore, o meglio la superficie opposta al punto di impatto (ingl. distal boundary) non influisce sul fenomeno di penetrazione (onde riflesse di intensità trascurabile).
– Spesso: la superficie opposta al punto di impatto influenza la penetrazione solo dopo che il proiettile si è incuneato per un certo tratto nel bersaglio.
– Di spessore intermedio: la superficie opposta al punto di impatto influisce sui fenomeni di deformazione durante l’impatto e la penetrazione del proiettile.
– Sottile: si tratta di un bersaglio per il quale i gradienti di stress e deformazione sono trascurabili attraverso lo spessore.

Quest’ultima è una classificazione usata più frequentemente della prima.

Perforazione e penetrazione (↑)
Per perforazione s’intende il completo attraversamento del bersaglio da parte del proiettile, mentre per penetrazione s’intende la mancata uscita del proiettile dal bersaglio. La penetrazione si dice completa quando viene verificata una delle seguenti condizioni (ciascuna facente riferimento ad una determinata “scuola”):

– Il bersaglio viene incrinato in modo che sia possibile intravedere un filo di luce dalla parte opposta all’impatto
– Almeno metà del proiettile ha attraversato il bersaglio
– Viene perforato un sottile foglio di alluminio posto ad una certa distanza dietro il bersaglio

I criteri sopra citati sono spesso utilizzati per la valutazione delle protezioni balistiche (in particolare corazze) e pertanto la scelta dell’uno o dell’altro criterio può portare a differenze significative in termini di costi della realizzazione e validità dei dati ottenuti.

Comportamento del proiettile all’impatto (↑)
Il comportamento più studiato è quello dell’impatto di proiettili su materiale metallico, anche se alcune considerazioni possono essere riferibili anche ad altri materiali. Quando il proiettile penetra il bersaglio il materiale di questo è accelerato radialmente lontano dall’asse di penetrazione. La massima accelerazione radiale si ha in prossimità della punta del proiettile. Con l’impatto si creano onde di compressione che dal punto di collisione diffondono in maniera circa emisferica nel bersaglio. Quando l’onda di compressione ha raggiunto la superficie libera del bersaglio (situata dalla parte opposta all’impatto) questa può rimbalzare come onda di tensione causando in alcuni casi una fratturazione.

Le onde di decompressione (ingl. release waves) si propagano anche nel proietto verso l’interno dalle superfici laterali libere, attraversano la zona centrale e generano una elevata sollecitazione di tensione (ingl. tensile stress). Per un impatto normale si ha uno sforzo bidimensionale, per un impatto obliquo, nel penetratore si generano anche sforzi di piegamento.

Il proiettile all’impatto può cambiare direzione, di solito puntando verso la normale alla superficie del bersaglio e può essenzialmente subire tre processi: non subire deformazione, deformarsi e/o consumarsi tramite una serie di fenomeni (deformazione elastica, plastica, erosione idrodinamica, vaporizzazione, ecc.). Nel caso il proietto subisca deformazione plastica, questo è soggetto inizialmente ad un “affungamento” nella parte che impatta e successivamente esso avanza comportandosi come un corpo rigido o nel caso di velocità elevata, consumandosi man mano che la penetrazione procede.

Velocità di impatto (↑)
La velocità gioca un ruolo importante nei fenomeni legati all’impatto. A basse velocità di collisione (<250m/s) la penetrazione è strettamente legata alle dinamiche strutturali globali e la tensione elastica tiene il materiale del bersaglio in contatto con il proiettile. In particolare quando la velocità si avvicina alla velocità limite (velocità minima per la penetrazione, vedi sotto) una quantità significativa di energia viene consumata nella deformazione plastica ed elastica del bersaglio. La deformazione elastica, trascurabile per velocità più elevate, gioca un ruolo fondamentale al ridursi della stessa e risulta l’effetto predominante negli impatti sotto i 50m/s.

Per velocità più elevate (500÷1000m/s) la penetrazione è governata dal comportamento “locale” del bersaglio (indicativamente 2÷3 diametri del proiettile misurati dal centro del punto d’impatto) e il materiale del bersaglio tende ad essere lanciato più lontano dal proiettile, creando un foro più grande del diametro di questo. Per velocità elevatissime entrano in gioco fenomeni quali la fusione (2000÷3000m/s) e la vaporizzazione (>12000m/s) dei materiali e cambiano le leggi che governano la penetrazione. Se negli altri casi per la penetrazione valgono generalmente equazioni basate sulle caratteristiche meccaniche del proiettile e del bersaglio, in questo caso valgono equazioni particolari come ad esempio l’equazione di Eichelberger applicabile per la carica cava e per i penetratori ad energia cinetica (la legge illustrata si riferisce ai proiettili “allungati”: long rods) derivata da relazioni che coinvolgono esclusivamente la dinamica dei fluidi:

dove la penetrazione P, oltre che da una costante sperimentale K, dipende soltanto dalla lunghezza del proietto lp e dal rapporto tra la densità del proietto e quella del bersaglio, rispettivamente ρ_p e ρ_b. Quello che ne consegue è che in una tale situazione a parità di condizioni, una lastra di piombo presenta una maggiore resistenza alla penetrazione di una lastra di acciaio balistico! Uno schema riassuntivo dei principali fenomeni legati agli effetti velocitari è riportato in tabella 1.

Diagramma di Stato (↑)
Si tratta di un diagramma dove viene riportato l’angolo d’impatto (solitamente misurato rispetto alla normale del bersaglio) o lo spessore del bersaglio in funzione della velocità del proiettile per un dato materiale. Questo diagramma è la base per qualunque studio di balistica terminale. Sul grafico di figura 1 (per un materiale di un dato spessore) possiamo vedere che all’aumentare delle velocità d’impatto aumenta la capacità di penetrazione (o perforazione) anche con impatti angolati (dove altrimenti si avrebbe rimbalzo) e a impatti molto angolati si ha comunque un danneggiamento del materiale. Per basse velocità aumenta invece la tendenza al rimbalzo anche per impatti poco angolati.

 

Figura 1 – Esempio di diagramma di stato in cui viene riportata la relazione tra velocità di impatto ed angolo di impatto (che in questo caso viene assunto pari a zero quando coincide con la normale al bersaglio). L’origine degli assi è identificata dal punto: “Angolo di impatto nullo; Velocità minima studiata”.

 

Il grafico di figura 2 riporta la relazione tra lo spessore del bersaglio e la velocità per un dato angolo di impatto. Anche in questo caso a velocità elevate, aumenta la capacità di penetrazione eventualmente associata a fenomeni di scheggiatura.

 

Figura 2 – Esempio di diagramma di stato in cui viene riportata la velocità di impatto contro lo spessore del bersaglio.

 

I grafici citati, se abbastanza ovvii dal punto di vista qualitativo, rivestono particolare importanza una volta ottenuti i valori numerici.

Velocità di transizione idrodinamica (↑)
Si tratta della velocità al di sotto della quale il proiettile ed il bersaglio si comportano come solidi (deformazioni elastiche e plastiche) e sopra la quale possono essere invece trattati entrambi come fluidi. Alla velocità di transizione idrodinamica la punta del proiettile si deforma assumendo un profilo semisferico che si mantiene stabile per il resto della penetrazione (penetrazione del corpo rigido). La velocità di transizione idrodinamica è inversamente proporzionale al diametro della punta del proiettile e può essere messa in relazione con la velocità di erosione del penetratore. In sostanza, se il proiettile si muove a velocità di valore comparabile o superiore alla velocità del suono in campo “plastico” nel materiale di cui è costituito, viene a formarsi un’onda d’urto statica nelle immediate vicinanze del punto di collisione tra bersaglio e proiettile, l’altro estremo del penetratore non verrà invece in alcun modo influenzato dall’impatto perché mai raggiunto dall’onda d’urto.

Velocità Limite Statistica (↑)
Per velocità limite s’intende la velocità alla quale si ha una data probabilità di penetrazione completa della protezione balistica. La più usata è la velocità alla quale si ha il 50% di probabilità di penetrazione completa ed è indicata anche come V₅₀. Questa velocità viene determinata tramite una serie di prove “a forcella” sparando numerosi colpi ed è solitamente la media tra tre velocità per le quali si è avuta penetrazione completa e tre velocità alle quali si è avuta penetrazione parziale che differiscano tra loro di non più di 46m/s (alcuni testi propongono 60m/s). Il grafico che si ottiene è del tipo illustrato in figura 3. Come possiamo notare, a causa della elevata pendenza della curva in prossimità della V₅₀, basta una minima variazione di velocità per avere sensibili variazioni nella probabilità di penetrazione completa e questo spiega la necessità di sparare un elevato numero di colpi per individuare correttamente l’intervallo velocitario. I fattori che influenzano la velocità limite sono riportati in tabella 2.

 

Figura 3 – Rappresentazione grafica del concetto di velocità limite.

 

Limite Balistico (↑)
Si tratta in pratica della velocità limite (paragrafo precedente) determinata seguendo un metodo alternativo. Come detto, la velocità limite è la minima velocità alla quale si ha penetrazione completa. A differenza della velocità limite statistica, questo valore si ottiene riportando in grafico (vedi figura 4) i valori misurati sperimentalmente della velocità residua del proiettile in funzione della velocità iniziale di impatto ed estrapolando la velocità di impatto per velocità residua nulla. Poiché in prossimità della velocità limite i risultati tendono ad essere irregolari ed inoltre risulta piuttosto difficile disporre di lastre campione (da testare) aventi non solo il medesimo spessore ma le medesime proprietà (es. densità, durezza, ecc.) è bene ricorrere a valori mediati su più misurazioni. Si tratta di una procedura più semplice rispetto alla precedente. In letteratura sono riportati vari studi sul limite balistico e sulla V₅₀ specie per impatto su materiale metallico. Questo valore può, come vedremo, essere ricavato abbastanza semplicemente anche da calcoli teorici con le approssimazioni del caso.

 

Figura 4 – Concetto di limite balistico.

PRINCIPALI FENOMENI LEGATI ALLA PENETRAZIONE (↑)

Taglio adiabatico (↑)
Si tratta di un processo il cui risultato finale è il distacco di un tassello. Nella fase iniziale dell’impatto si forma un anello di taglio fortemente marcato. Poiché questo avviene rapidamente (a livello di milionesimi di secondo) il bersaglio non ha tempo sufficiente per sviluppare alcun moto né di dissipare energia. Si genera così localmente un intenso calore che, visti i tempi in gioco, non viene smaltito e pertanto il materiale viene indebolito e tende a cedere rapidamente e a scorrere plasticamente. Se ci si trova almeno al di sopra del 5 o 10% della velocità limite, si ha come risultato il distacco di un tassello. Il fenomeno è incrementato da proiettili a punta appiattita.

Erosione idrodinamica (↑)
È un fenomeno che si verifica a velocità superiori a 1000 m/sec (oltre la velocità di transizione idrodinamica). Nella fase iniziale dell’impatto il proiettile subisce una deformazione plastica assumendo solitamente un profilo tozzo di tipo emisferico. Durante la penetrazione, il proiettile sposta il materiale del bersaglio in maniera simile a un punzone ma in modo molto più violento, depositando anche parte del suo materiale sulle pareti del bersaglio con relativa perdita di massa. Il proiettile pertanto si consuma man mano che avanza. In conseguenza del violento spostamento di materiale il diametro del foro risulta maggiore di quello del proiettile (vedi animazione più in basso).

Strisce di taglio adiabatiche (adiabatic shear band) (↑)
Si tratta di un tipo di taglio adiabatico che si verifica quando il materiale è sottoposto ad un intenso carico dinamico. Le strisce di taglio adiabatiche sono caratteristiche di alcuni materiali e possono essere pensate come strette regioni della struttura del metallo in cui vengono concentrate le deformazioni plastiche. All’interno del cratere e nella zona circostante al foro di ingresso del proiettile, vengono così a crearsi delle “strisce di taglio” molto strette (dell’ordine dei millesimi di millimetro) e lunghe anche alcuni centimetri (qualcosa di simile a delle scaglie attaccate tra loro: vedi foto) con discontinuità di tensione e di deformazione (pur mantenendo la continuità del materiale) invece di un graduale aumento della deformazione vicino alla regione impattata.

Questo fenomeno, dal punto di vista della deformazione del proiettile, se in un primo momento era stato considerato come un ostacolo all’efficienza della perforazione , successivamente è stato riconosciuto come un meccanismo di penetrazione più efficiente. Utilizzando metalli specifici caratterizzati da strisce di taglio adiabatiche (es. leghe all’uranio impoverito) si è visto che all’impatto il foro risulta più stretto e profondo rispetto a materiali caratterizzati da una deformazione plastico/idrodinamica di tipo “classico”. A questo fenomeno si sono date due possibili spiegazioni:

– Grazie alle strisce di taglio adiabatiche la punta del proiettile può assumere una forma simile ad una punta di scalpello mantenendo poi questa forma durante l’evento d’impatto anziché appiattirsi o arrotondarsi, uno schema di questa spiegazione è riportato in figura 5.

Figura 5 – Rappresentazione grafica di penetrazione con (a) e senza (b) formazione di strisce di taglio adiabatico. Si noti la forma a “punta di scalpello” (a) assunta dal proiettile e descritta nel testo.

– Una seconda e più recente interpretazione del fenomeno, attribuisce il vantaggio non all’auto-appuntimento del penetratore ma, alla riduzione della superficie di impatto della parte affungata grazie alle fratture, dovute alle strisce di taglio adiabatiche, ed al successivo distacco in avanzamento della parte più periferica dell’affungamento, uno schema di questa spiegazione è riportato in figura 6.

 

Figura 6 – Rappresentazione grafica di penetrazione con in evidezza gli sforzi plastici tra un penetratore in uranio impoverito (sx) ed uno in lega di tungsteno (dx). WHA sta per Wolfram Heavy Alloy (lega pesante di tungsteno).

 

L’uranio impoverito, contrariamente al tungsteno, ha la tendenza a produrre strisce di taglio adiabatiche, effetto che favorisce ulteriormente la penetrazione.

MODALITÀ DI PENETRAZIONE (↑)

Plugging (↑)
Si tratta di un fenomeno che si manifesta con materiali moderatamente spessi caratterizzati da un basso allungamento percentuale a rottura e generalmente quando sono impattati da un corpo a testa piatta e di solito con velocità molto vicina al limite balistico. Il materiale giunto al limite elastico cede senza dare nessuna deformazione plastica. Si ha un foro netto con distacco di un tassello. Possiamo distinguere tre fasi. Nella prima fase il materiale davanti al proiettile viene compresso ed il proiettile decelera. Nella seconda fase il materiale del bersaglio comincia ad accelerare ed inizia a formarsi il taglio sull’area superficiale del tassello. Nella terza fase si è formato il tassello che si muove con la stessa velocità residua del proiettile. Per velocità elevate (>1200 m/s) possiamo avere erosione idrodinamica del proiettile. Lo schema è riportato in figura 7a.

Petaling (↑)
Si manifesta quando lo stress radiale è alto (e la velocità di impatto del proiettile è vicina al limite balistico). Si verifica solitamente con materiale duttile. Il proiettile in questo caso effettua soltanto una deformazione plastica del materiale. Lo schema è riportato in figura 7b.

Piercing (↑)
È un fenomeno che si manifesta con materiali spessi ed è distinto in due fasi. Nella prima fase si ha spostamento radiale di materiale del bersaglio, talvolta anche con plugging. Nella seconda fase si ha flusso plastico e piegatura del bersaglio. Lo schema è riportato in figura 7c.

Craterizzazione Posteriore o Spalling (↑)
Si tratta di un fenomeno tipico di materiali con carico di rottura a compressione maggiore di quello a trazione, quali: vetro, cemento, ceramica ecc. Esso è dovuto alla riflessione dell’onda d’urto da parte del lato opposto del bersaglio che determina una sollecitazione a trazione con il distacco di uno o più frammenti. Questo fenomeno dipende dallo spessore del bersaglio e dalle dimensioni del proiettile. Il fenomeno è tanto più accentuato quanto il bersaglio è sottile e quanto maggiore è il calibro del proiettile. In caso di penetrazione, il foro d’ingresso risulta notevolmente minore del foro di uscita. Il distacco di frammenti si ha anche in caso di mancanza di perforazione se il bersaglio non è troppo spesso. Lo schema è riportato in figura 7d dove è rappresentato un caso di mancata perforazione.

Distacco di tappo o Scabbing (↑)
Si tratta di un fenomeno praticamente identico allo spalling ma a differenza di questo anziché avere il distacco di frammenti si ha il distacco di un “tappo”. Questo si verifica quando l’intensità dell’onda di trazione (riflessione dell’onda di compressione) risulta molto maggiore della trazione minima richiesta per avere la frattura. Quando i due valori sono di intensità comparabile si ha invece lo spalling. Lo schema è riportato in figura 7e.

 

Figura 7 – Modalità di penetrazione.

EQUAZIONI (↑)

A causa dell’interesse anche di natura militare esistono equazioni molto dettagliate che descrivono la penetrazione nei metalli, nel calcestruzzo, nel terreno, nei materiali compositi e ceramici. A queste si aggiungono altre equazioni (annoverabili nella categoria delle equazioni empiriche citate in questo paragrafo) di interesse di natura medico-legale che descrivono la penetrazione nel corpo umano (ossa, tessuti molli, ecc.) molte delle quali sviluppate dal Sellier ed altre riguardanti la penetrazione nel legno (Weigel). Le equazioni utilizzate per descrivere la penetrazione sono raggruppabili nelle tre categorie sotto elencate. Di queste certamente le più usate e le più note sono le equazioni di natura empirica, essendo facilmente applicabili e comprensibili. Ci soffermeremo maggiormente su queste equazioni per trarre alcune considerazioni generali sulla penetrazione dei materiali.

Soluzioni numeriche (↑)
Si tratta del metodo più generale. Viene impostato un sistema di equazioni differenziali che viene di solito risolto usando il metodo delle differenze finite o quello degli elementi finiti. Si tratta di una procedura molto laboriosa. I risultati che si ottengono sono molto affidabili ma strettamente legati a una data tipologia di proiettile e di materiali per i quali sono richieste informazioni dettagliate per la modellizzazione. Non è possibile dare qui delle equazioni data la complessità e la particolarità dei calcoli che solitamente vengono effettuati creando dei modelli al computer.

Equazioni analitiche approssimate (↑)
Questa classe di equazioni modellizzano il fenomeno penetrativo su base fisica tenendo conto anche delle caratteristiche dei materiali (carico di rottura, coefficiente di allungamento, ecc.). Si tratta di equazioni sviluppate facendo talvolta assunzioni semplificative che non sempre possono trovare riscontro in un ambito reale, si ipotizza inoltre un’unica modalità di penetrazione: plugging, petaling, ecc. La penetrazione in realtà non sempre avviene con un solo processo ma, come citato in precedenza, possono intervenire più processi e più fenomeni contemporaneamente (taglio adiabatico, erosione idrodinamica, ecc.) rendendo complessa la trattazione analitica.

Equazioni Empiriche o quasi analitiche (↑)
Sono equazioni ricavate da un elevato numero di dati sperimentali o da interpolazione di curve sperimentali che non tengono conto delle proprietà fisiche dei materiali (es. carico di rottura, durezza ecc.). Buona parte di queste sono basate su un bilancio di energia calcolando l’energia critica di penetrazione (E_cr) secondo la seguente equazione:

E_cr = K” d^m tⁿ

Dove d è il diametro del proiettile, t lo spessore del bersaglio da perforare e K” una costante sperimentale, anche gli esponenziali vengono determinati sperimentalmente e sono i parametri che caratterizzano la legge di penetrazione. Solitamente la loro somma è un numero abbastanza vicino a tre. Il proiettile viene supposto indeformabile. Queste equazioni sono tipicamente applicabili a materiali spessi o moderatamente spessi per i quali si ha rispettivamente il plugging o il piercing. Tra queste ricordiamo la formula di DeMarre e la formula di Krupp entrambe applicabili alla penetrazione degli acciai dolci.

L’equazione di DeMarre viene ricavata partendo dalla precedente equazione dopo aver posto m=1,5 e n=1,4:

m V² = K’ d^1,5 t^1,4

dove:
m = massa del proiettile (in g)
V = Velocità di impatto (in m/s)
d = diametro del proiettile (in cm)
t = penetrazione nel bersaglio (in cm)
K’ = costante calcolata empiricamente tipica del materiale

La formula di Krupp è ricavata dall’equazione dell’energia ponendo m=1,67 e n=1,33 ed è la seguente:

E_cr = K” d^1,67 t^1,33

da cui:

dove:
t = penetrazione in cm (riferita alla punta del proiettile)
E = energia cinetica (in Kgm)
d = calibro del proiettile (in mm)
K = costante dipendente dal materiale penetrato e pari a 0,194 per l’acciaio dolce.

Qualora non si desideri calcolare lo spessore attraversabile ma la velocità residua dopo l’attraversamento di uno spessore noto di acciaio dolce, si deve prima calcolare lo spessore totale attraversabile per la velocità iniziale data, da questo sottrarre lo spessore attraversato ottenendo lo spessore di materiale che il proiettile potrebbe ancora attraversare e inserire questo valore nella formula per ricavare in modo inverso la velocità residua. Questa procedura ha carattere generale e può venire applicata anche per altre formule di penetrazione relative anche ad altri materiali. È possibile quindi ricostruire il percorso del proiettile anche quando questo ha impattato su materiali diversi, cosa molto frequente in sede giudiziaria.

Supponendo di voler calcolare la velocità residua di un proiettile di .357M da 158grs con velocità di 380m/s dopo l’attraversamento di uno spessore di 2mm di acciaio dolce utilizzando la formula di Krupp, avremo che il proiettile potrebbe attraversare 3,2mm di metallo; avendo attraversato solo 2mm, restano 1,2mm che potrebbero ancora essere attraversati. Inserendo questo valore nella formula possiamo ricavare in modo inverso la velocità residua che è di circa 190m/s.

In figura 8 è riportato il grafico dell’andamento della penetrazione, calcolata con la formula di Krupp, in funzione della velocità. Come possiamo notare l’andamento è quasi lineare con incremento della penetrazione all’aumentare della massa del proietto. È presumibile che queste equazioni siano abbastanza approssimate in vicinanza del limite balistico (vedi figura 4) ma tuttavia, come risulta evidente in figura 9, possono essere utilizzate per effettuarne il calcolo. Dal grafico di figura 9 si osserva che il limite balistico tende a calare all’aumentare della massa del proiettile.

 

Figura 8 – Esempio di andamento della penetrazione nell’acciaio dolce secondo la formula di Krupp per proiettili calibro .357M/.38S di vario peso.

 

Figura 9 – Esempio di calcolo del limite balistico ottenuto per via analitica utilizzando la formula di Krupp per un proiettili calibro .357M/38S e 9mm. Il grafico fa riferimento all’attraversamento di una lastra di acciaio dolce dello spessore di 2mm.

 

Sebbene queste equazioni per proiettili ad alta velocità (oltre 1000 m/s) continuino a prevedere un andamento lineare, avendo ipotizzato il proiettile indeformabile, nella realtà è presumibile che intervenendo i fenomeni citati in precedenza (in particolare l’erosione idrodinamica) questa modellizzazione non sia più verosimile.

CONCLUSIONI E COMMENTI (↑)

Come illustrato, la materia risulta enormemente vasta e complessa ed una razionalizzazione non è semplice. Da quanto esposto emergono alcuni concetti di validità generale: la penetrazione è favorita da un aumento di massa e densità sezionale come evidenziato dai grafici relativi alla formula di Krupp. Inoltre un proiettile più pesante garantisce comunque una massa “residua” sufficiente per continuare la penetrazione a seguito dei fenomeni di perdita di materiale legati all’impatto (erosione, rottura, ecc.), una velocità elevata da sola non garantisce una penetrazione elevata. Gli aspetti velocitari giocano tuttavia un ruolo importante per i fenomeni particolari che implicano e per l’incremento di penetrazione che comunque ne deriva.

In considerazione dell’elevato numero di variabili in gioco, dei risultati certi possono essere ottenuti solo tramite osservazione/verifica sperimentale, specie per impatti su materiali metallici. Infatti le equazioni empiriche illustrate (ed anche altre) suppongono il proiettile indeformabile e pertanto forniscono più un valore di penetrazione massima teorica che di penetrazione reale, mentre le equazioni analitiche contengono spesso alcune condizioni semplificative e non tengono conto della concomitanza di più fenomeni.

 

Bibliografia:
[1] Ballistics Theory and design of guns and ammunitions, Donald E. Carlucci, Sidney S. Jacobson – CRC Press
[2] Appunti di balistica, A. Pignone, R. Vercelli – Editoriale Olimpia
[3] Balistica Pratica E. Mori – Editoriale Olimpia
[4] The phisics and mathematics of adiabatic shear bands, T.W. Wrigh – Cambridge University Press
[5] A tutorial on the penetration of kinetic-energy (ke) rounds, Manfred Held – Journal of Battlefield Technology Vol.7, No.1, March 2004.
[6] Effect of target thickness in blunt projectile penetration of Weldox 460E steel plates, Tore Børvik, Odd Sture Hopperstad – Journal of Impact Engineering 28 (2003) 413–464
 

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