Proiettili: stabilità statica e dinamica

Dopo un primo articolo sull’argomento (link) torniamo ad occuparci di stabilizzazione nell’ambito di un più ampio progetto sulla realizzazione di proiettili ad alte prestazioni aerodinamiche. Quest’articolo, da intendersi ad integrazione del primo, espone la parte più strettamente di calcolo tale da consentirci una valutazione della stabilità di proiettili strutturati a piacimento.
 
A causa della necessaria esposizione di qualche equazione, l’articolo potrebbe risultare un po’ ostico ma, coloro che sapranno “resistere”, potranno meglio apprezzare la tecnica alla base della progettazione dei proiettili. Inoltre, per il tiro a lunga distanza, acquisire il concetto di stabilità dinamica è importante, soprattutto se si ingaggiano bersagli alla massima distanza utile per il proprio sistema d’arma.
 
Per stabilità, lo ribadiamo, si intende la capacità del proiettile di mantenere un corretto orientamento lungo la traiettoria e di ritornare in questo stato dopo una eventuale perturbazione dell’assetto. Quando un proiettile in volo subisce forze esterne tali da modificare l’orientamento del suo asse, grazie alla stabilizzazione si innescano delle forze che tendono a correggerne automaticamente l’orientamento. Più sinteticamente possiamo anche dire che, se il proiettile è stabile, esso tenderà sempre a puntare il flusso d’aria che lo investe.
 
Come sappiamo, il metodo di stabilizzazione comunemente usato per i proiettili è quello di imprimere una rotazione intorno all’asse longitudinale (spin). In questo modo, per effetto giroscopico, l’asse tenderà a rimanere costantemente orientato.
 
Approfondendo il livello di analisi possiamo separare la stabilità della pallottola in due componenti: la stabilità statica (o giroscopica) e la stabilità dinamica. Affinché un proiettile sia stabile devono essere soddisfatte entrambe le condizioni: un proiettile giroscopicamente stabile ma dinamicamente instabile non è utilizzabile.
 

Stabilità giroscopica

Tra le due stabilità, quella giroscopica è la più facile da capire ed è legata sostanzialmente all’inerzia del proiettile. Avendo tipicamente il centro di gravità arretrato rispetto al centro di pressione, un proiettile stabilizzato dovrà opporsi alle forze che altrimenti tenderebbero a ribaltarlo. Se un proiettile è giroscopicamente stabile alla volata esso rimane tale lungo tutta la traiettoria, con una fattore di stabilità progressivamente maggiore. La velocità di avanzamento decadrà infatti più velocemente della velocità di spin. Se un proiettile, al contrario, è giroscopicamente instabile alla volata, non sarà mai stabile.
 
La stabilità giroscopica, simbolo Sg, può essere calcolata con diverse formule empiriche, la più nota è forse quella di Miller che impiega essenzialmente i parametri di lunghezza, massa e calibro, oltre ovviamente al passo di rigatura dell’arma (link). La formula di Miller considera comunque proiettili dalla struttura omogenea. Per proiettili costruttivamente più complessi (porzione ogivale alleggerita, nucleo appesantito, ecc.) si deve ricorrere all’equazione analitica fondamentale della stabilità giroscopica. Essa è espressa dalla seguente relazione:

 
dove:
Ix = momento di inerzia assiale (o polare) del proiettile [Kg m2]
p = velocità angolare [rad/s]
ρa = densità dell’aria [Kg/mm3]
Iy = momento di inerzia trasversale (o equatoriale) del proiettile [Kg m2]
S = sezione retta proiettile [mm2]
d = calibro proiettile [mm]
v = velocità alla volata [m/s]
Cmα = coefficiente del momento di beccheggio [adimensionale]
 
Il proiettile sarà giroscopicamente stabile per Sg>1. Per avere un certo margine si preferisce solitamente un fattore di stabilità compreso tra 1.3 e 1.5
Fattori di stabilità più elevati possono essere considerati uno “spreco” sia perché, a parità di passo, comportano dei compromessi progettuali in termini di prestazioni aerodinamiche del proiettile; sia perché a parità di proiettile, il passo della canna dovrà essere necessariamente più corto. Quest’ultimo produce a sua volta precoce usura della rigatura e riduzione della velocità di lancio. Inoltre, l’aumento della velocità angolare del proiettile esalta gli effetti negativi di eventuali asimmetrie nella distribuzione delle masse o di una non perfetta concentricità nel transito in canna.
 
Non lasciamoci intimorire dall’equazione e analizziamola per trarne importanti informazioni. Notiamo subito che l’equazione non fa riferimento all’aerodinamica del proiettile ma di fatto alle sole caratteristiche salienti di peso, lunghezza, calibro e sezione. Volendo accrescere il fattore di stabilità del proiettile dovremo aumentare il numeratore e ridurre il denominatore dell’equazione. Potremo quindi incrementeremo la velocità di rotazione assiale del proiettile (p) o il suo momento di inerzia polare (Ix). Quest’ultimo parametro è legato alla distribuzione radiale delle masse che dovranno essere per quanto possibile aumentate. Per fare un esempio, a parità di dimensioni, un proiettile in piombo sarà più facilmente stabilizzabile di uno in rame o ottone proprio per la maggiore densità del piombo.
 
Al denominatore troviamo invece i parametri da ridurre, quindi la rarefazione dell’aria rappresenta un vantaggio (ρa), così come l’abbassamento del momento di inerzia equatoriale (Iy) legato alla lunghezza del proiettile e alla distribuzione della massa lungo questo asse. Anche Cmα, il coefficiente del momento è legato alla lunghezza del proiettile, in esso in pratica è inclusa indirettamente la distanza tra centro di gravità e centro di pressione, connessa a sua volta alla coppia di beccheggio per un determinato angolo d’attacco (α).
 
Un alleggerimento della parte ogivale del proiettile, tipico delle palle match HPBT, sembrerebbe controproducente visto che questo accorgimento ne arretra ulteriormente il baricentro peggiorando quindi il braccio della coppia ribaltante e di conseguenza Cmα. Di contro, questo effetto è bilanciato e spesso superato dalla riduzione del momento di inerzia trasversale (Iy). Al netto quindi, un arretramento del baricentro può determinare un miglioramento della stabilità statica del proiettile.
 
A velocità supersonica l’espressione approssimata di Cmα è ottenibile con la seguente equazione:

 
dove:
V = volume del proiettile [mm3]
SB = superficie di base [mm2]
xcg = distanza del baricentro dall’apice dell’ogiva [mm]
l = lunghezza del proiettile [mm]
Ma = velocità di avanzamento [Mach]
 

Stabilità dinamica

Rispetto alla stabilità statica quella dinamica è molto più difficile da calcolare, essa è governata dalla velocità e dalla forma del proiettile, dipendendo fondamentalmente da coefficienti aerodinamici difficili da acquisire. In buona sostanza, il movimento giroscopico è esso stesso causa di instabilità e quando perturbato, nel fenomeno di precessione, può determinare un incremento dell’angolo d’attacco. Le forze aerodinamiche agenti sul proiettile possono smorzare o amplificare tale movimento anche in funzione dell’intervallo velocitario in cui agiscono o analogamente, in base alla condizione di stabilità o instabilità dinamica che va ad instaurarsi.

– Movimento giroscopico: (0) centro di gravità; (1) asse del proiettile; (2) tangente alla traiettoria; (3) nutazione; (4) precessione; (α) angolo d’attacco –

 
I proiettili possono avere instabilità dinamica già alla volata o man mano che perdono velocità lungo la traiettoria sino al bersaglio. A differenza della stabilità giroscopica, la stabilità alla volata non implica il mantenimento della stessa sino al bersaglio. La stabilità dinamica è indicata con la variabile Sd. L’equazione di base per calcolare la stabilità dinamica è la seguente:

 
dove m, è la massa del proiettile.
La relazione contiene cinque parametri aerodinamici individuabili mediante simulazioni CFD:
CLα, il coefficiente di portanza perpendicolare alla traiettoria
Cmpα, il coefficiente del momento di imbardata per effetto Magnus
CD0, il coefficiente di resistenza aerodinamica all’avanzamento
Cmq + Cmαr, rappresenta il coefficiente totale del momento di smorzamento in beccheggio
 
Un proiettile con stabilità dinamica “perfetta” avrà un Sd pari a uno. Se Sd è minore o maggiore di uno, il proiettile potrebbe diventare instabile. Scriviamo potrebbe perché il metodo di calcolo approssimato, almeno per ciò che riguarda la stabilità dinamica, non modellizza perfettamente il comportamento della pallottola. Le indicazioni di calcolo hanno quindi validità qualitativa.
 
È possibile dimostrare che la stabilità statica e quella dinamica sono strettamente legate. La condizione di stabilità generale è data dalla relazione:

 
Il grafico risultante è il seguente:

– Grafico stabilità generale –

 
Come si può vedere, escludendo la porzione di instabilità statica (Sg<1), l'equazione divide il piano in due regioni. Se un proiettile è all'interno della regione stabile, tutto va bene. Se esso lascia la regione stabile, il movimento di precessione potrebbe non essere adeguatamente smorzato con il pericolo di erraticità del coefficiente balistico o addirittura di ribaltamento del proiettile. Un proiettile con alta stabilità statica ha più ampi margini sulla stabilità dinamica. Un proiettile che si trova sul bordo della regione di stabilità giroscopica (Sg≃1) diventerà facilmente dinamicamente instabile.
 
Se ben stabilizzato il proiettile inizierà il suo volo in prossimità della linea centrale della regione di stabilità (Sd≃1), al ridursi della velocità proseguendo verso il bersaglio, sul grafico avremo un incremento della stabilità statica (il punto si muove verso l’alto), con la stabilità dinamica che invece si abbasserà progressivamente (avvicinamento alla curva di transizione). Ribadiamo comunque che la stima sulla dinamica del proiettile fornisce un avviso circa una condizione potenzialmente pericolosa ma, il proiettile potrebbe comunque mantenersi stabile.
 

Esempio di calcolo

Volendo mostrare una simulazione di calcolo abbiamo modellizzato un proiettile Lapua in calibro 6.5mm, per la semplicità costruttiva si è scelto un proiettile FMJBT da 144gr. Ecco il risultato:

– Stima stabilità Lapua FMJBT 144gr –

 
Il grafico in giallo mostra la combinazione di stabilità statica e dinamica al procedere del proiettile da 0 a 700m a passi di 100m. Lanciato ad una V0 di 850m/s in canna con passo 1:8.5, il proiettile ha ampia stabilità statica (Sg=1.76) e buona stabilità dinamica (Sd=1.07). Man mano che il proiettile riduce la propria velocità di avanzamento, come atteso, la stabilità statica migliora a discapito di quella dinamica. In prossimità dei 500m il proiettile oltrepassa la regione di stabilità diventando dinamicamente potenzialmente instabile.
 

Conclusioni

Per quanto detto, la stabilità del proiettile è solo parzialmente nelle mani del tiratore. L’unica cosa che si può fare è scegliere proiettili che saranno adeguatamente stabilizzati staticamente con il passo di rigatura della propria arma. Meglio preferire combinazioni proiettile/canna che producano una Sg di almeno 1.3÷1.5 in modo da avere un certo margine anche per la stabilità dinamica e la variabilità delle condizioni atmosferiche, evitando comunque velocità di rotazione del proiettile inutilmente elevate e controproducenti in relazione ad eventuali asimmetrie costruttive e all’eccentricità proiettile canna.
Inoltre, come regola generale, la massima distanza dal bersaglio dovrà essere tale da avere il proiettile a velocità non inferiore a 1.2 Mach (inizio regione transonica), velocità alla quale il comportamento aerodinamico del proiettile potrebbe variare drasticamente.
 
Come anticipato, l’articolo espone sinteticamente alcuni strumenti di calcolo propedeutici alla definizione di un nuovo proiettile ad alte prestazioni aerodinamiche che, prossimamente, verrà mostrato in un nuovo approfondimento.
 
 


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