Autore: Fabio Novembre 3, 2010 6 Commenti

di Alberto Garofalo          

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Sezioni dell’articolo

• Gli inizi
• L’era moderna
• Sviluppi recenti
• Le tavole di tiro del Lowry
• Il coefficiente balistico
  • Definizione e proprietà
  • Condizioni standard e condizioni atmosferiche
  • Dipendenza del coefficiente balistico dalla velocità
  • Coefficiente balistico e traiettoria

• La traiettoria atmosferica

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Per balistica esterna, s’intende quella branca della balistica che si occupa di descrivere il moto del proiettile da quando questo lascia la canna fino al momento del suo impatto. In passato la descrizione del moto del proiettile nell’atmosfera oltre ad essere una necessità, ha sempre costituito, per la sua complessità, una sfida per matematici e fisici insigni quali Tartaglia, Galileo, Newton, Eulero e altri, ciascuno dei quali ha fissato una pietra miliare nella soluzione del problema balistico che, contrariamente a quello che si può pensare ha avuto sviluppi recenti fino quasi ai nostri giorni. In quest’articolo è tracciata, anche attraverso un excursus storico, una panoramica dei concetti chiave che ha lo scopo di aiutare il tiratore ad approcciare in modo corretto i dati forniti da manuali di ricarica, riviste o programmi balistici.

 

Gli Inizi (↑)

Il termine balistica deriva dal termine greco antico βαλλομαι (ballomai) che significa: lancio, scaglio. Se andiamo a escludere tentativi più o meno rozzi di descrivere traiettorie di frecce o altro citati in passato, possiamo dire che la balistica nasce quando l’uso delle armi da fuoco è ormai consolidato (inizi del 1500). Il primo studio di balistica eseguito con criteri scientifici venne eseguito nel 1537 dal matematico Tartaglia (quello del triangolo omonimo) su commissione della Repubblica Serenissima di Venezia. Lo studio riguardava la gittata massima dei proiettili delle bombarde. Tartaglia trovò che la gittata massima si aveva per un angolo di tiro di circa 45°, valore che coincide con i calcoli teorici per una traiettoria nel vuoto. E questo perché utilizzando proiettili pesanti e piuttosto lenti, la resistenza dell’aria risultava trascurabile.

In realtà (qui apriamo una piccola parentesi) la gittata massima per le armi leggere, si ha per un angolo di circa 30°÷35° perché in questo caso l’aria esercita una funzione di “supporto” oltre che una funzione di resistenza. Nelle armi pesanti invece si ha la gittata massima per un angolo di 55°÷60° poiché essendo in questo caso trascurabile la funzione di supporto, vengono interessati strati alti dell’atmosfera che essendo meno densi offrono minore resistenza. Tartaglia non seppe però spiegare la linea curva della traiettoria. Nel 1636 Galileo sviluppò un metodo matematico per il calcolo della traiettoria attribuendo la forma curva di questa alla forza di gravità. Egli ritenne tuttavia del tutto trascurabile l’effetto della resistenza dell’aria. I primi studi di aerodinamica vennero effettuati da Newton nel 1700 e culminarono con l’enunciato dell’omonima legge in cui si afferma che la resistenza dell’aria è proporzionale al quadrato della velocità.

Nel 1740 il capitano Benjamin Robins, avvalendosi del pendolo balistico da lui inventato, decise di studiare l’effetto della resistenza dell’aria sui proiettili di moschetto dell’epoca. I suoi studi dimostrarono che questa aveva invece un’importanza rilevante: più di 80 volte maggiore della forza di gravità. La traiettoria di conseguenza ne era enormemente influenzata in termini di gittata massima (molto indicativamente 5-6 volte inferiore a quella nel vuoto) e di velocità di arrivo. Benjamin Robins tuttavia non venne creduto sia perché sino ad allora si pensava che la resistenza dell’aria fosse del tutto trascurabile sia perché le velocità dei proiettili da lui misurate si pensavano essere spropositate (erano solo 200÷300 m/s!). Più avanti però ci si dovette ricredere e intorno al 1850 iniziarono moltissimi studi sulla resistenza aerodinamica dei proiettili.

Tra il 1865 ed il 1870 il reverendo e matematico Francis Bashforth inventò il primo cronografo in grado di fornire misurazioni di velocità sufficientemente accurate ed effettuò una serie di studi sull’aerodinamica dei proiettili. In questo periodo vennero formulate le leggi sulla resistenza aerodinamica del generale Mayewski (enunciate nel 1883 sulla base di studi iniziati nel 1868) e del colonnello Francesco Siacci. Leggi, che a differenza della legge di Newton, erano specifiche per i proiettili e per velocità anche supersoniche. Queste leggi furono un’importante pietra miliare per l’affidabilità dei calcoli, perché in prossimità della velocità del suono si ha la creazione di un’onda d’urto che aumenta di molto la resistenza dell’aria (vedi figure 3 e 4) con notevoli deviazioni dalla legge di Newton la quale invece non tiene conto di questa problematica.

Essendo molto laborioso calcolare la resistenza aerodinamica e la traiettoria atmosferica per un determinato proiettile, si pensò di utilizzare un proiettile o alcuni proiettili il cui profilo aerodinamico potesse essere rappresentativo anche per altri proiettili: nacque intorno al 1870 il concetto di proiettile standard da alcuni attribuito a Bashfort. I parametri della traiettoria per un dato proiettile avrebbero potuto quindi essere calcolati facendo riferimento al proiettile standard, rappresentativo di una certa classe di proiettili, utilizzando un opportuno coefficiente di proporzionalità che tenesse conto del fattore di scala: il coefficiente balistico. Le moderne leggi dell’aerodinamica ci dicono che i parametri aerodinamici (es. portanza, resistenza dell’aria) non variano in proporzione alla scala ma si deve valutare ogni caso singolarmente… però funziona.

L’era moderna (↑)

Intorno al 1870 partirono anche una serie di studi sui proiettili standard, studi che termineranno nel 1930. Tra questi ricordiamo quelli della commissione Gavre e della commissione Krupp. Nel 1880 il Siacci introdusse un’ulteriore semplificazione nei calcoli introducendo il concetto di tiro teso e di pseudovelocità. Eseguendo il tiro con un angolo di proiezione inferiore o uguale a 5° (condizione di tiro teso) è infatti possibile utilizzare non la velocità del proietto ma la sua pseudovelocità, ossia la proiezione della velocità sul prolungamento dell’asse della canna al momento dello sparo (in termini geometrici è la tangente all’origine della traiettoria ed è detta linea di proiezione). Applicando questo concetto nella parte delle equazioni relativa alla resistenza dell’aria, il sistema di equazioni impostato risultava risolvibile abbastanza semplicemente. Il concetto di pseudovelocità e di tiro teso sono esposti in figura 1.

Figura 1 – Illustrazione del metodo Siacci. La velocità totale (V) è riconducibile a u (pseudovelocità) quando θ₀ ≈ θ. Questa ipotesi è verificata per angoli di proiezione (θ₀) inferiori o uguali a 5°.

Questa pratica è nota con il nome di “metodo di cambio di variabile” nella risoluzione delle equazioni differenziali. Poiché nelle armi leggere molto difficilmente si arriva a un angolo di proiezione maggiore di 2°, questa soluzione non presenta particolari problemi anche nel caso di tiro a lunga distanza. Nel 1893 vengono pubblicate le tavole di tiro di Ingalls basate sulla legge di resistenza dell’aria sviluppata da Mayewski. Queste, utilizzando il proiettile standard e il coefficiente balistico consentivano di calcolare la traiettoria di un dato proiettile, la sua velocità ad una data distanza ed altri parametri fondamentali della traiettoria. Nel 1930 nascono le tavole di Coxe e Bugless che in base al calibro e al raggio di curvatura dell’ogiva consentono di determinare il coefficiente balistico di un proiettile per confronto con una serie di profili possibili, seppure con un certo margine di errore rispetto alla misurazione sperimentale.

Sulla base di esperienze del 1947, nel 1965 la Winchester pubblica le tavole di tiro del Lowry. Queste sono le tavole di tiro ancora oggi usate dai manuali di ricarica e cui fanno riferimento anche molti programmi di balistica. Queste tavole a differenza di quelle di Ingalls fanno riferimento a una casistica più ampia di proiettili come avremo modo di vedere. Le modalità di calcolo e di approccio sin qui descritte non tengono conto della rotazione e della deriva del proiettile ed essendo state sviluppate in periodi in cui non esistevano nemmeno le calcolatrici scientifiche, per rendere veloce il calcolo, le funzioni che risultavano dalla soluzione delle equazioni differenziali venivano tabulate rendendo così possibile calcolare i parametri della traiettoria anche senza l’ausilio di una calcolatrice tramite semplici relazioni matematiche. Si pensi a qualcosa di simile alle tavole logaritmiche e trigonometriche.

A partire dal 1940, con l’avvento dei primi calcolatori, oltre alle soluzioni analitiche di queste equazioni, si sono sviluppate anche soluzioni ottenibili tramite metodi di integrazione numerica. I moderni programmi per PC che possiamo avere disponibili possono utilizzare le une o le altre. Solitamente i programmi che utilizzano metodi di integrazione numerica danno risultati più accurati.

Sviluppi recenti (↑)

Con la disponibilità dei computer si sono sviluppate formule e teorie che, potendo prescindere dalla complessità del calcolo consentono una descrizione più accurata del moto del proiettile. Tra questi ricordiamo il metodo di calcolo “6 Gradi di Libertà” (6-DOF) che utilizza due assi ternari, uno per descrivere il moto di traslazione e uno per descrivere il moto di rotazione. Il proiettile non è considerato come un punto ma come un corpo rigido di lunghezza finita la cui massa è distribuita secondo la sua geometria. Con il sistema 6-DOF non solo si può calcolare la traiettoria di qualunque proiettile (anche proiettili autopropulsi) con qualunque angolo di proiezione ma è possibile anche calcolare i moti di precessione, nutazione, deriva ecc. oltre alle oscillazioni che il proiettile compie prima di raggiungere gli angoli di riposo (moti di precessione e nutazione costanti).

Ovviamente il numero dei parametri iniziali richiesti è altrettanto elevato quanto le informazioni fornite. Tale sistema ha utilità principalmente per scopi militari. Tra le altre cose tiene conto anche della forza di Coriolis! (rotazione della terra). Sebbene questa procedura di calcolo sia stata sviluppata intorno agli anni trenta, data la sua complessità è risultata risolvibile solo in questi ultimi anni grazie all’ausilio dei computer. Il Centro di Massa Modificato (MCM) è invece una versione semplificata del metodo di calcolo 6-DOF. In questo metodo di calcolo il proiettile viene trattato come un punto, possono essere effettuati calcoli per angoli di proiezione non troppo elevati e non si considerano le oscillazioni iniziali del proiettile assumendo un valore dell’angolo di riposo costante.

Questo tipo di calcolo, eventualmente utilizzabile anche dai tiratori, è disponibile online sul sito “jbm ballistics” (www.jbmballistics.com/cgi-bin/jbmmpm-5.1.cgi). Anche in questo caso le informazioni richieste sono molte e non sempre disponibili. Molto recentemente è stata proposta dal Prof. Arthur Pejsa una nuova metodologia di approccio che a differenza dei metodi MCM e 6-DOF, consente di utilizzare il coefficiente balistico delle tavole G1 del Lowry facilmente reperibili e un coefficiente correttivo secondo la tipologia del proiettile (vedi piu avanti). Il vantaggio principale di questa metodologia di calcolo, come riportato sul sito www.pejsa.com, è quello di consentire una maggiore precisione di calcolo nel caso di tiri lunghi, quando cioè ci si avvicina al regime transonico (Mach≈1). Sul sito è riportata un’ampia trattazione dell’argomento.

Le tavole di tiro del Lowry (↑)

Tutti i dati che troviamo nei manuali di ricarica e cataloghi di munizioni, e in particolare i coefficienti balistici, nella quasi totalità dei casi fanno riferimento a queste tavole. Le tavole sono le seguenti: G1, G2, G5, G6, G7, G8, GL (per proiettili in piombo) e Gs (per proiettili sferici). Ciascuna tavola è basata su un determinato proiettile standard, mentre la “G” è in onore della commissione Gavre. In figura 2 sono riportati i proiettili standard di maggiore rilevanza.

Figura 2 – Proiettili Standard utilizzati dalle Tavole del Lowry. Le dimensioni sono espresse in calibri. Il proiettile relativo alla tavola G2 è un proiettile di artiglieria.

Come si vede dalla figura 2, il proiettile standard per le tavole di Ingalls e le tavole G1 è lo stesso. Queste ultime sono il frutto di una serie di studi di balistica più accurati sullo stesso proiettile. Delle tavole citate, quelle più usate sono le tavole di tiro G1 che, sebbene più indicate per proiettili da pistola, sono di uso generico e soddisfano la maggior parte delle esigenze del tiro (vedremo come) mentre nel caso di tiro a lunga distanza (oltre i 400 m) è meglio utilizzare le tavole di tiro G7 adatte per proiettili ad alto profilo aerodinamico spesso indicati con la sigla VLD (Very Low Drag).

Tuttavia non sempre risulta facile reperire dati balistici relativi a queste ultime, dato che quasi tutti i dati disponibili fanno riferimento alle tavole di tiro G1. Le altre tavole di tiro non rivestono particolare importanza per il tiratore. I dati riportati nelle tavole fanno riferimento alle condizioni atmosferiche Standard Metro (15 °C, 750 mmHg, 78% Umidità Relativa). Esistono alcune limitazioni, sebbene modeste, all’uso delle tavole che riassumiamo sulla tabella a seguire:

Condizioni per l’uso delle Tavole del Lowry
Parametro	Valore	Note
Intervallo di velocità (fps)	Min 120 (37m/s) Max 3600 (1097m/s)	Ampio range di velocità: da poche decine di m/s sino a poco oltre i 3 Mach
Angolo di proiezione	≤ 5°	Deve valere la condizione di tiro teso
Angolo di Incidenza del proiettile	≈ 0°	Condizione verificata molto spesso. Un angolo di incidenza elevato determina una variazione del Cb dato che cambia il profilo aerodinamico. Per una misurazione molto accurata del Cb è opportuno ricorrere ad una misurazione/verifica sperimentale con l’arma che si intende utilizzare
Max Gittata (Yard)	1000 (914 m)	Utilizzabili anche a distanze maggiori con minore accuratezza
Densità dell’aria	Considerata costante in ogni punto della traiettoria	Al variare della densità dell’aria varia anche la velocità del suono, nella realtà potrebbero variare quindi sia la resistenza aerodinamica che la velocità di transizione supersonica
Temperatura dell’aria	Considerata costante in ogni punto della traiettoria	Al variare della temperatura varia la densità dell’aria e con essa anche la velocità del suono, nella realtà potrebbero variare quindi sia la resistenza aerodinamica che la velocità di transizione supersonica

Ciascun proiettile tipo, ideale riferimento aerodinamico dei proiettili reali, è caratterizzato da una propria resistenza aerodinamica funzione della velocità di avanzamento. Tale caratteristica viene riassunta dal coefficiente aerodinamico, indicato tipicamente con Cx o Cd (dall’inglese drag coefficient). A seguire è visibile l’andamento di tale coefficiente per ciascun proiettile standard:

 Figura 3 – Coefficienti aerodinamici tipo (1 Mach equivale alla velocità del suono, in condizioni Standard ICAO essa è pari a 340 m/s).

La curva indentificata con GI è quella elaborata da Ingalls che, come visibile dal grafico, risulta quasi coincidente con la curva G1 sviluppata dal Lowry.
Il coefficiente aerodinamico è definito matematicamente come a seguire:

con:
C_d = coefficiente aerodinamico (adimensionale)
f_d = forza aerodinamica opposta al movimento del proietto (Kg)
V = velocità del proietto (m/s)
ρ = densità dell’aria:1,225 in condizioni Std. ICAO (Kg/m³)
S = sezione retta proiettile (m²)
nota: il termine “½ρV²” viene definito “pressione dinamica”.

La relazione appena esposta è da considerare comunque solo come indicativa, infatti essa è valida solo per specifici range di velocità. Inoltre, si fa notare che un C_d costante in funzione della velocità non significa avere una forza resistente costante (f_d); f_d infatti varia con il quadrato della velocità di avanzamento. C_d in altre parole fornisce solo l’indicazione dell’efficienza aerodinamica.
Il coefficiente aerodinamico è calcolabile anche dalla perdita di velocità subita dal proietto su una data tratta :

(1)

con:
V1 = velocità iniziale (m/s)
V2 = velocità finale (m/s)
L = lunghezza della tratta (m)
m = massa del proietto (Kg)

in quest’ultima relazione, moltiplicando il risultato per 1000 è possibile esprimere la massa (m) in grammi e la sezione (S) in mm².

Il Coefficiente Balistico (↑)

Definizione e proprietà
Per esprimere l’efficienza balistica di un proiettile, ossia la capacità di mantenere la propria velocità attraversando l’aria, si è sviluppato un indice detto coefficiente balistico (Cb). In buona sostanza esso compara le prestazioni del proiettile esaminato con quanto noto del proiettile tipo preso a riferimento (di solito il G1). Matematicamente il coefficiente balistico è definito come a seguire:

(2)

dove:
Cb = coefficiente balistico (Kg/m²)
Sd ^(*) = densità sezionale del proietto (Kg/m²)
i = fattore di forma (adimensionale)

inoltre: la densità sezionale (Sd) sarà data dal rapporto tra la massa del proietto (m) in Kg ed il quadrato del proprio diametro (D) in metri ^(*); il fattore di forma costituisce invece il riferimento al proiettile tipo ed è dato dal rapporto tra il coefficiente aerodinamico del proiettile in esame (Cdb) e quello del proiettile tipo (Cd) preso a riferimento (di solito il G1). Quindi:

	(3)
	(4)

^(*) La densità sezionale così calcolata è quella convenzionalmente valida per il computo del coefficiente balistico. Per la balistica terminale, lesionale ed interna, andrà invece considerato il reale rapporto tra massa del proiettile e area della sua sezione frontale (D²п/4).

Esclusivamente per le tavole del Lowry, dovendo esprimere il coefficiente balistico in Libbre/Pollice² (psi) ma partendo da misure decimali (in questo caso esprimendo Sd in g/mm²), si dovrà aggiungere un fattore di conversione pari a 1,422:

(5)

Come detto, il coefficiente di forma (i) esprime il rapporto tra la resistenza aerodinamica del proiettile che stiamo considerando e quello standard a una data velocità o più frequentemente esso è un valore mediato su un certo intervallo di velocità (vedi più avanti). Un valore del coefficiente di forma basso indica un profilo aerodinamico efficiente e dà di conseguenza (vedi formula) un coefficiente balistico elevato. Un valore prossimo a 1 indica, come è ovvio, un profilo aerodinamico coincidente con quello del proiettile standard. Si tratta di quel coefficiente di proporzionalità di cui abbiamo parlato nella parte introduttiva.

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Esempio di calcolo

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Supponiamo di dover stimare il coefficiente balistico di un proiettile in calibro .223 partendo da due rilevazioni velocitarie, una alla volata e l’altra a 300m:

Dalla relazione (1) che lega il coefficiente aerodinamico al calo di velocità del proiettile (410m/s in 300m), otteniamo un valore Cdb = 0,39.

Usando la relazione (4) e approssimando un valore medio di Cd sulle tavole G1 tra 1,7 e 3 Mach di 0,57 otteniamo i = 0,68.

Dalla (3) calcoliamo la densità sezionale del proiettile pari a 105,3 Kg/m², equivalenti a circa 0,105 g/mm².

Dalla (2) otteniamo quindi il coefficiente balistico stimato Cb pari a 0,155 g/mm², che considerando la (5) volendo cambiare unità di misura, ci darà infine Cb = 0,220 lb/inch².

Il valore del coefficiente balistico ottenuto dai calcoli è molto vicino al coefficiente balistico nominale del proiettile in uso, pari a 0,218 lb/inch².

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Sebbene la formula che descrive il coefficiente balistico sia la stessa per tutte le tavole del Lowry, il valore del coefficiente balistico cambia (anche di molto) a seconda della tavole di tiro cui si fa riferimento perché cambia il valore del coefficiente di forma a seconda del proiettile standard utilizzato. Ad esempio, un proiettile con coefficiente balistico di 0,40 per le tavole G1 ha un coefficiente balistico di circa solo 0,21 per le tavole di tiro G7. Non abbiamo quindi il coefficiente balistico ma i coefficienti balistici!

Maggiore è il valore del coefficiente balistico, migliore è la prestazione aerodinamica del proiettile. Su questo bisogna però fare un minimo di attenzione. All’aumentare della densità sezionale del proiettile aumenta anche il coefficiente balistico a parità di fattore di forma (vedi formula). In linea di massima con densità sezionale elevata si avrà sempre un coefficiente balistico più elevato rispetto a proiettili con densità sezionale bassa a meno di elevate differenze sul fattore di forma, ma è quest’ultimo che ci dà le vere informazioni circa le caratteristiche aerodinamiche del proiettile.

Sebbene proiettili leggeri (in genere con densità sezionale bassa) e molto veloci presentino il vantaggio di una traiettoria anche molto più tesa di altri più pesanti (in genere con densità sezionale alta) e con coefficiente balistico maggiore, questi ultimi hanno una migliore ritenzione della velocità e soprattutto una minore deviazione col vento laterale anche se quest’ultimo effetto non risulta esplicito nella formula di Didion (relazione usata per il calcolo dell’influenza del vento sulla traiettoria del proiettile). Nel paragrafo successivo vedremo che un coefficiente balistico elevato riduce anche le variazioni dovute alle condizioni atmosferiche.

Il coefficiente balistico ha le seguenti proprietà:

• E’ dato in condizioni Standard Metro (15 °C, 750 mm Hg, 78% Umidità Relativa, 0 m slm) o ICAO (15 °C, 760 mm Hg, 0% Umidità Relativa, 0 m slm) a seconda del manuale di ricarica o del produttore
• E’ valido per un certo intervallo di velocità
• Proiettili aventi il medesimo Cb e medesima velocità descrivono la medesima traiettoria
• Variazioni del ±10% non hanno effetto particolarmente significativo su traiettoria e velocità per gli usi ordinari

Al fine di una migliore comprensione e per un corretto utilizzo di questo parametro fondamentale nei calcoli balistici, è opportuno un approfondimento sulle proprietà citate.

Condizioni standard e condizioni atmosferiche (↑)
Le condizioni standard diverse (ICAO o Standard Metro) influiscono in maniera non particolarmente significativa sulla traiettoria e sono per lo più una questione di forma. Esse hanno effetto sulla velocità del suono (densità dell’aria) che a sua volta modifica la resistenza dell’aria e quindi il coefficiente balistico va opportunamente corretto. Un quadro riassuntivo è riportato sulla tabella seguente:

Principali differenze tra condizioni standard ICAO e Metro
Parametro	Std. ICAO (1)	Std. Metro (2)
Densità dell’aria (g/l)	1,225	1,203
Velocità del suono (m/s)	340	341
Fattore di conversione Cb	std.Metro • 0,982	std.ICAO • 1,018
(1) International Civil Aviation Organization: 59°F (15°C), 760 mmHg, 0% U.R. (2) U.S. Army Std. Metro: 59°F (15°C), 750 mmHg, 78% U.R.

Come si vede le differenze sono minime come minimo (se non nel tiro a lunga distanza) è l’effetto dell’umidità relativa sui parametri della traiettoria. Di maggiore influenza sono la temperatura ma soprattutto l’altitudine. Un esempio è riportato sulla prossima tabella:

Esempio di influenza di diverse condizioni atmosferiche per un proiettile da 52 grs .223 Remington con velocità iniziale di 990 m/s (CB=0,218 su tavole G1)
	Std. Metro		Std. Metro ma a 0°C		Std. Metro ma a 30°C		2000m slm (*)
Dist. (m)	H (cm)	V (m/s)	H (cm)	V (m/s)	H (cm)	V (m/s)	H (cm)	V (m/s)
0	0,0	990	0,0	990	0,0	990	0,0	990
100	44,1	841	45,4	837	41,4	851	36,9	868
200	74,2	705	76,7	697	69,0	722	60,8	754
300	84,2	580	87,5	570	77,7	603	67,2	648
400	64,6	470	67,5	458	59,0	497	50,0	550
500	0,0	382	0,0	369	0,0	409	0,0	462
(*) Valori calcolati per una densità dell’aria di 1,007 g/l ed una temp. di 15°C

Per l’esempio è stato scelto un caso di una palla con Cb abbastanza basso che come conseguenza, risulta maggiormente influenzata dagli effetti di variazione dei parametri atmosferici. I calibri con Cb maggiore ne sono influenzati in modo minore. Ad esempio, se confrontiamo la traiettoria in condizioni Standard Metro e la stessa traiettoria a 2000 m slm per una palla da 168 grs in .308 (Cb circa 0,44 sulle tavole G1) per una velocità iniziale di 840 m/s con arma azzerata a 500 m (come per il .223), troviamo a 200 m una differenza sull’ordinata di soli 5,5 cm contro i 13,4 cm dell’esempio considerato. Essendo come appena visto le variazioni di temperatura e di quota non trascurabili, le condizioni Standard Metro per una data quota fanno riferimento a precise condizioni standard di temperatura e pressione barometrica secondo la tabella riportata qui di seguito:

Condizioni Standard Metro per quote diverse
Quota (Piedi)	Quota (m)	Rapporto Densità Aria (quota/livello mare)	Temp. (°F)	Temp. (°C)	Pressione (mm/Hg)	Rapporto Velocità del Suono (quota/livello mare)
0	0	1,0000	59,0	15,0	750,0	1,0000
1000	305	0,9702	55,4	13,0	722,7	0,9873
2000	610	0,9414	51,9	11,1	696,3	0,9744
3000	914	0,9133	48,3	9,1	670,9	0,9614
4000	1219	0,8862	44,7	7,1	646,4	0,9483
5000	1524	0,8598	41,2	5,1	622,7	0,9350
6000	1829	0,8342	37,6	3,1	599,8	0,9216
7000	2134	0,8094	34,1	1,2	577,8	0,9080
8000	2438	0,7853	30,5	-0,8	556,6	0,8943
9000	2743	0,7619	26,9	-2,8	536,1	0,8805
10000	3048	0,7392	23,4	-4,8	516,3	0,8666
11000	3353	0,7172	19,8	-6,8	497,3	0,8525
12000	3658	0,6959	16,2	-8,8	478,9	0,8383
13000	3962	0,6752	12,7	-10,7	461,1	0,8239
14000	4267	0,6551	9,1	-12,7	444,0	0,8094
15000	4572	0,6356	5,5	-14,7	427,6	0,7948

Si tenga conto che, in generale, partendo da un coefficiente balistico stimato in certe condizioni standard, l’equivalente coefficiente balistico in aria di densità differente dovrà tener conto di un fattore correttivo (d):

dove, ρ_std e ρ saranno le corrispondenti densità dell’aria.

Dipendenza del coefficiente balistico dalla velocità (↑)
In teoria il valore del coefficiente balistico dovrebbe essere costante o in pratica, dovrebbe comunque variare di poco con la velocità. Tale variazione con la velocità è cosa nota, tanto è vero che alcune case di munizioni riportano il valore del coefficiente balistico per un dato intervallo di velocità e taluni programmi balistici danno modo di inserire più di un valore di coefficiente balistico, uno per ciascun intervallo di velocità considerato. Talvolta però la dipendenza dalla velocità può essere anche significativa. Vediamo di analizzare questa problematica in dettaglio considerando l’esempio qui in figura 4.

Figura 4 – Esempio di andamento qualitativo di Cd (coefficiente di resistenza aerodinamica) per un proiettile generico (quello riportato è tipico di un proiettile ad alto profilo aerodinamico) e andamento di Cd per il proiettile standard secondo le tavole di tiro G1.

Nell’esempio riportato distinguiamo in prossimità della velocità del suono una zona con andamento a campana in cui il coefficiente aerodinamico si impenna (aumentata resistenza all’avanzamento) e le curve si discostano anche parecchio tra loro per poi raggiungere una zona con andamento più lineare ed addirittura parallelo per velocità più elevate (punti neri su curva rossa, intervallo di velocità con campitura in verde). Essendo in pratica il coefficiente di forma (i) il rapporto tra i valori di coefficiente di resistenza aerodinamica (Cdb) del proiettile in uso e quello del proiettile standard (Cd, vedi definizione) per una data velocità, finché le curve resteranno parallele il loro rapporto (i) resterà costante rispetto alla velocità, per poi divergere sempre di più man mano che la velocità diminuisce.

Pertanto, se ci troviamo nella zona in cui le curve sono parallele non è molto importante la forma della curva utilizzata e può quindi essere utilizzata la curva relativa alla tavola di tiro G1 anche se il proiettile ha una curva di Cd molto diversa dalla G1 (nell’esempio dato l’andamento è simile a quello delle tavole G7). Il relativo coefficiente balistico di conseguenza, resterà costante con la velocità perché il coefficiente di forma resterà a sua volta costante. Quando invece la velocità si abbassa, poiché le due curve si discostano, un semplice rapporto non riesce più ad annullare queste differenze e occorre utilizzare una curva di riferimento specifica. In alternativa, come detto all’inizio, se le differenze tra le due curve non sono elevate, si può utilizzare un coefficiente balistico diverso a seconda dell’intervallo di velocità o un valore medio per gli intervalli di velocità dati, con risultati comunque accettabili.

Un’elevata variazione del coefficiente balistico con la velocità indica pertanto che la tavola di tiro non è adatta al proiettile che stiamo utilizzando. In linea di massima (ma non è una regola e va verificato di volta in volta) per proiettili da carabina la cui forma diverge abbastanza da quella del proiettile standard delle tavole G1, le differenze cominciano ad accentuarsi con velocità inferiori ai 2000 fps (circa 610 m/s). Per calibri comuni come il .223 Remington ed il .308 Winchester questo risulta verificato fino a distanze di 300 ÷ 400 m circa. Ecco spiegato il motivo per cui per la maggior parte degli usi si possono utilizzate le tavole di tiro G1 anche per proiettili (es. Boat Tail) la cui forma si discosta anche di molto da quella del proiettile standard relativo a queste tavole che come detto all’inizio sono di uso generale. Se inoltre teniamo conto anche del fatto che variazioni del ±10% sul coefficiente balistico non hanno particolare effetto sui risultati finali, l’uso di un valore mediato risulta giustificabile. Per distanze elevate o se il proiettile viaggia a velocità relativamente basse, è invece opportuno verificare se può essere utilizzata la tavola di tiro G1.

Coefficiente balistico e traiettoria (↑)
Poiché proiettili aventi medesimo coefficiente balistico e velocità descrivono la medesima traiettoria, ne consegue che proiettili anche molto diversi tra loro ma aventi medesimo coefficiente balistico descriveranno la medesima traiettoria. Questo consente di poter stilare un numero abbastanza limitato di “tavole di tiro” che per una data velocità iniziale e per un dato Cb, riporteranno la velocità e i dati di traiettoria alle varie distanze, per una specifica distanza di azzeramento. Tale pratica è abbastanza frequente in taluni manuali di ricarica e consente al tiratore una rapida prima valutazione delle prestazioni della munizione.

La traiettoria atmosferica (↑)

Per avere una panoramica completa restano da definire le principali differenze tra una traiettoria atmosferica e una nel vuoto.

Figura 5 – Traiettoria di un proiettile .223 Remington 52 grs Sierra Match King con velocità iniziale di 995 m/s. Il vertice della parabola si ottiene ad una distanza di 290 m circa.

Quella riportata in figura 5 è una tipica traiettoria atmosferica. Possiamo innanzitutto notare che la curva è asimmetrica, con il ramo discendente più ripido di quello ascendente. La causa di questo è dovuta al fatto che se nel vuoto il proiettile percorre la traiettoria mantenendo costante il modulo della velocità (cioè cambia solo la direzione del vettore), in una traiettoria atmosferica, a seguito della decelerazione provocata dall’aria, il proiettile ridurrà progressivamente la propria velocità (cambia anche il modulo del vettore). Diminuendo la velocità il proiettile impiegherà più tempo per coprire la medesima distanza orizzontale “cadendo” maggiormente. Ne consegue che il ramo discendente sarà più corto di quello ascendente, generando una traiettoria asimmetrica anziché simmetrica come avviene nel vuoto.

Un’altra cosa che possiamo notare è che il vertice della curva si ottiene a 290 m circa di distanza. Nelle traiettorie atmosferiche il vertice anziché essere a metà percorso come avviene nelle traiettorie nel vuoto, è spostato in avanti di un fattore prossimo ad 1,1 (nel nostro caso 250•1,1=275 m). La differenza tra traiettoria atmosferica e traiettoria nel vuoto tende ad attenuarsi man mano che la distanza di tiro si accorcia per quasi annullarsi (fatto salvo per la riduzione di velocità) nel caso del tiro a 25 m con proiettili da pistola. La forma della traiettoria in questo caso, oltre ad essere pressoché simmetrica quasi coincide con quella nel vuoto (il proiettile, in prima approssimazione, si può considerare sottoposto solo all’accelerazione di gravità).

Partendo dalla visione generale esposta in quest’articolo, prossimamente osserveremo nel dettaglio alcuni fenomeni balistici determinanti nel tiro a media e lunga distanza.
 

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